张鹏飞：《量子力学习题解答与剖析》前言

    本书给出曾谨言先生所著《量子力学》(卷I、卷II，科学出版社，第四版) 的全部习题解答，各章内容均遵照该书顺序排列．这是我们在中国科学技术大学多年从事量子力学教学的过程中逐步编写而成的．

    二十多年来，曾谨言先生所著教材在国内量子力学教学中一直被广泛采用．尤其是《量子力学》(卷I、卷II)，体系完整，内容全面，条理清晰，叙述透彻，因而深受青年学生以及教师的欢迎．特别曾先生还根据量子力学的前沿进展、国内量子力学教学情况以及读者反映的信息，对该书作了多次修订，使得它不断完善．曾先生在该书的序言里说：“卷I适合于作为本科生学习量子力学的进一步深入的参考书，卷II则可作为研究生学习高等量子力学的主要参考书．青年物理学工作者在学完本书以后，可以比较顺利地进入与量子力学有关的各前沿领域的研究工作”．我们还认为卷I非常适合用于学时较多的本科量子力学课堂(如中国科大6学分120学时的量子力学)教学，卷II非常适合做高年级本科生或者研究生学习高等量子力学的教材．作为曾先生原著的学习辅导材料，本书可供大学生在初学量子力学时或者复习考研时参考之用，也可为研究生学习高等量子力学提供一定的帮助．

    本书融汇编者多年来量子力学教学的经验与体会，我们力求解答详尽，叙述清晰．此外类似我们在教学中所做的，编写过程中我们始终注意两点：(1)贴近学生．书主要是给学生用的，应当根据学生的特点，在内容组织、编排上多从利于学生学习的角度考虑；(2)知识与方法并重．注重启发，激发学生学习主动性．积极引导学生活学活用，引导学生思考以深入发掘物理内涵．

    量子力学习题，只要你用心揣摩，往往会发现有多种解法，即所谓解无定法，“不管白猫黑猫，能抓到老鼠的都是好猫”．本书中的很多习题正是有多种解法．一些题存在的多种解法，我们并不试图列出全部，而是尽量选取其中较有启发性的．若解法有繁有简，除少数特别巧妙的列出外，我们往往还有意给出较繁的解法，这样做主要是为了利于大多数同学学习．同学懂了以后，自己会给出他最简单的解法．

    本书最先的底稿是阮图南教授所做的部分习题的稿子，以及编者之一(张)多年来做曾先生所著教材里的习题而积累起来的几个笔记本．曾先生教材里的题目，不少都量子力学味道浓，或者具有一定科研背景．对部分这样的题目，我们几位编者曾以较大的兴趣做了一些讨论和思考．此外，在我们的教学过程中，学生与我们富有启发性的讨论以及我们与学生的交流，也促进了我们对一些问题的思考．这些讨论和思考，使我们或者是得到了一些新的解法，或者是对一些题的物理实质和内涵作了更多的剖析和发掘，在书中便以“解法二”、“解法三”等或者以“讨论”、“说明”等形式附上．个别题因为这种附加的内容较多，以至于题目的解答显得冗长且不太合乎标准．这些从一般解题要求来看并不必须，我们却认为恰恰是这些附加的内容对于启发学生的学习和思考是有益的，因而是本书的重要特色之一．还有若干题的巧妙解法(特别有一些解法，还是我们原先意想不到的)来源于历年选课同学的作业．

     此外，对于部分典型题的解答或相关背景材料，我们参考了国内外一些优秀的而且是我们非常欣赏的习题解答书或者教材的内容(这些著作的名称也在本书正文的注释或者参考文献里列出)，充分吸收其精华．其中有钱伯初教授与曾谨言教授所著“量子力学习题精选与剖析”一书，该书可能还有不足之处，但是总的看来，它内容丰富，叙述清晰，精到地演绎如何运用量子力学原理去分析处理各种具体问题，特别是对于部分习题所做深入细致的物理剖析，在细微处精彩展现了两位量子力学教学名师深湛的功底．该书是本书编写的重要参考书之一，我们在编写过程中从该书得到了很多启发，也学到了它的很多优点．

    本书可供学习量子力学或者高等量子力学参考用，主要目的是为了方便大家学习或者复习巩固．当然我们最不希望同学图这样的“方便”，只是简单地拿本书的习题解答来应付作业抄抄完事．我们愿意在此提醒各位同学，只有自己动手用心做一定数量的习题，才能把量子力学学到手[我们在《量子力学学习指导》一书的前言里写过一个量子力学学习的建议，该文在互联网上也可以找到，感兴趣的同学可以找来看．]．就如沈惠川教授在他的《经典力学题谱》一书的序言里所说“光说不练假把戏，光练不说傻把戏，又说又练才是真把戏”，也好比一个人学习游泳一定要下水一样．我们向手头有这本书的同学建议，当拿到一个习题时应当：(1) 自己先做，把它完成；(2) 如果自己反复思考都不得要领，那可以先查阅一下本书．边看边思考，想清楚解题要点后，合上书，仍是自己独立完成．习题做完以后，再翻开书看看，把自己做的与书中的解法做做比较，这样让你学得踏实，等等．我们希望本书给同学提供的不是思想的束缚，也不是拐杖，而是启发，是灵感．正如诗是做不完的一样，量子力学习题的解法往往层出不穷．我们期望，同学们在自己用心做一些题以后，会发现乐趣，同时会给出一些更好的解法．假若同学们发现了更多更好的解法，本书也就起到了抛砖引玉的作用，这正是我们最希望看到的．

    同学作习题可以针对自己的特点选择一些题来做．象本书习题较为丰富，有难有易，数学上也是有繁有简．每个同学特点不一样，有些同学数学很好，有些同学数学可能弱一点．我们觉得，数学稍弱的同学，不妨选一些数学较简然而物理味足的题来做．学习量子力学，不应让繁琐的数学演算成为学习和领会量子力学物理实质的障碍．数学是物理学的工具，数学演算决不是量子力学的全部．量子力学除了要用心学，学到脑子里，还要学到手上．通过做习题，就会了解如何运用所学知识，对它的领会也会更加深入．做习题决不仅仅是想明白怎么做，还要动手一步一步把它做出来．“想通了”跟“做出来”是两码事．思考可以跳跃，有时也许会出错．自己动手做的，你只要一步一步都不含糊，做完了一般都很有把握．所以，我们总是主张同学一定要自己动手做一些习题，哪怕你时间不多，因此只能做一部分．平常学习中，应在对所学知识作复习、总结的基础上，在相关原理和概念充分理解的基础上做题，这样就不会盲目．做题时，应当先看清题目，明白题目的全部条件和要求，再回忆学过的知识，多方面思考，不妨画画草图或者写写算式作辅助，寻找解题思路．想通了怎么解题以后，开始遵从逻辑的顺序，利用题目的条件，已知的概念、原理、事实，一步一步演绎，直到到达结论．

    题解完后，最好再检查题目解答是否完整，再琢磨琢磨题目有没有更妙的解法? 它能否运用到一些特例?它能否推广?条件能否减弱? 等等．不过这时，最重要的应该还不止于此，这时最重要的应该是试着进一步思考这个题的物理实质和内涵，思考它可能的更深的物理意义? 所谓“察物内之物，思理中之理”．学习本身是一个不断求真的过程．我们总是觉得，量子力学最妙的地方也许就在于它有很多值得“玩味”的地方，似是而非、似非而是容易糊涂的往往又是本质所在的地方很多，这些地方常需要较深入的思考才能真正理解和领会，所谓“浅尝难知其真味”．现在很多同学选一门课，他/她最关心的只是最后他/她这门课的成绩有多高，GPA是多少．可是我们真正觉得，就量子力学这门课的学习而言，光会做题能考高分甚至能拿100分也许还是不太够的．不少题有重要物理背景，量子力学味道浓，它的物理内涵、它深层的物理意义往往都值得“玩味”和“琢磨”．只有这种“玩味”、这种“琢磨”，才可能给你带来“顿悟”之喜，才可能把你导向对物理原理真实和深入的领会，才可能把你导向对量子力学精髓的真正领悟．

    曾谨言先生非常信任的让我们编写本书演绎他的著作，并且一直关心本书编写的进展情况．杨国桢院士曾在我校倡导加强量子力学教学．为此，中国科大本科教学从2004年秋季学期开始，增设6学分120学时的量子力学(量子力学A)．这一远见之举一定程度上也促进了本书的编写，因为它使我们在量子力学教学上投入了更多的时间和热情．王安民、尹民等教授给予了鼓励和帮助．沈惠川等教授则一直关心此书的编写，而且与编者之一(张) 平常富有启发的讨论也使得本书在很多方面得到了改进．张永德教授与编者之一(张) 有过多次交流，给了年轻人很多启发和教益．本书的编写还得到了其他许许多多老师的关心和帮助．对于所有这些，我们在此一并深致谢意．

    我们还特别感谢历年来我校选修我们量子力学课程的同学，感谢他们对量子力学的兴趣，感谢他们与我们富有启发性的讨论，感谢他们的各种意见．对历年来的助教王舸、葛红林、成斌、马小三、王安、刘键恒、邹冰、尹鹏程等人的工作也在此致以谢意．

    感谢尹甸、谷德阳等同学在L ATEX排版上提供的热情帮助．

    虽然我们希望做到最好并且也尽了力，但限于我们的水平，估计本书不当之处还是在所难免．对此，我们恳请广大读者谅解．我们诚挚欢迎读者通过下列联系方式
                   Email: zhpf@ustc.edu.cn, Tel: 0551-3600630
向我们提出宝贵的批评和建议．

编 者
2009年9月于合肥

张鹏飞：《量子力学习题解答与剖析》后记

   书稿总算写完了．2006年签的合同，本来是计划2007年上半年交稿，下半年出版的．竟拖延至今，这书稿拖的时间太长了，越是拖延，越感压力．现在总算完成了任务，心里也长长松了口气，想起本书的缘起，竟不由地百感交集．

    3年前由尹民教授牵线，我与当时来中国科大的科学出版社热情而敬业的昌盛编辑见了面，昌盛编辑说曾谨言先生正在对他的量子力学(卷I、卷II)进行修改，准备2007年出第四版，因此这时候他希望能够有一个全书的习题解答，并与曾先生的书第四版配套出版．那时候我跟随我的导师阮图南先生讲授量子力学已有好几个学期了，并与阮先生编写过一本《量子力学习题解答》讲义．曾先生卷I、卷II两大本的量子力学书中习题较多，但我在以往的学习以及教学中已把这些题的大部分都解过的(积累起来的几个笔记本都还在)，所以我当时认为若与阮先生一起做一定可以把这件事做得很好的．我说我会跟阮先生商量的，昌盛编辑说由他负责征求曾谨言先生的意见．

    过了一些日子，安徽大学徐辅新教授在一次会上见到了曾谨言先生，曾先生已知道了科学出版社要出这样一个习题解答的计划．曾先生说，虽然量子力学已有较多的学习指导、习题解的书，但是量子力学(卷I、卷II)全部习题的解答还没有人出过，这样一本书值得出．曾先生请徐辅新教授转告阮图南老师，写这本书只要有阮老师参加，他就很放心．

    昌盛编辑又一次来科大的时候，阮先生与我和他会了面．记得那次就在我的办公室，阮先生与昌盛编辑这一对老少校友先是谈起了北大的一些事情，立刻就聊得非常投机．昌盛编辑说他已问过曾谨言先生，而他所说的曾先生意见与先前徐辅新教授所说的一样，就是本书值得出版，而且只要有阮图南老师参加，他就很放心．阮先生与曾谨言先生是老朋友，阮先生说，这是曾谨言先生的信任，要写就一定要写好．

    我与阮先生很快就投入撰写．先前我已把曾先生卷I、卷II两大本的量子力学书中习题的大部分都解过，但其实其中相当一部分都做得较为粗糙．我曾从大物理学家E. Fermi的传记(由他的学生E. Segr`e所写，当时中国科大图书馆只有唯一的一本英文原版的书，后来国内又出过中译本)中看到，Fermi给一些难题的解答通常只有一行文字．受此“影响”，有一阵子，我解一些题也就有些偷懒，解答常常只写我认为是最关键的很少的几步．而有一次当我看到阮先生亲手做的量子力学习题时，又曾受到大的触动．阮先生曾做过曾先生的《量子力学导论》的前面几章的习题，在我与阮先生等人合作编写的《量子力学学习指导》(2008年5月出版)一书的后记里如下写道：

    · · · · · ·
    先生要我重视这门课的教学，他自己正是这么做的．先生的量子力学讲稿每讲一轮都会重写．他的讲稿，看起来很随便，有些用的都是发黄的稿纸、一些会议材料的背面或者用过的复印纸背面．他一张一张地写，写了一摞，便拿个夹子一夹或者用订书机一订．这一摞一摞讲稿里面，每页纸上每个字、每个符号、每个公式都写得工工整整、稳稳当当、一丝不苟，显得那么自信与正确．我有事到先生家去，要碰上他正备课的时候，他便常让我在桌子对面先坐一会儿，他却仍对着他的讲稿凝思，等他一个式子写完，才来招呼我．先生可能是除了体育以外，没有其他业余爱好的，平常一有空就是做演算，写讲稿．他到外地去，也带着讲稿，一有空就开始写或者演算．我想正是他课堂以外下的功夫，使得他上课可以基本不看讲稿，在讲台前一黑板一黑板地写．

    先生说要求学生做的，自己要先做到．那次他问我，教科书上的习题做没做? 我说，我以前读本科上这门课的时候，把那时用的曾谨言先生编的教材上的习题全做过了．只不过现在用的教材，是曾先生后来编的，可能有一些新题．先生说，以前做过的，现在也应该做一些，特别是新题，一定要做．只有做了，才有把握让学生做．而我因为各种原因，他讲过以后有一段时间都还并没有真正花多少时间做题．过了一些天，先生拿给我几摞稿子，‘喏，这是我做的．’他要我整理一个教材的全部习题解答，他做了面一部分，但后面部分他那个学期不一定有那么多时间做了，他想我能不能完成．他还告诉我，前3章已经请助教录到电脑里了，要我核对一下．我拿起这几摞稿子，翻了翻，虽说已跟随先生多年，还是觉得很惊异．因为，我原先也曾做过几次助教，印象里习题一般都是助教的事，主讲老师一般都是不太管的，而先生现在却已做了这几本厚厚的稿子．这也实在让我心下惭愧，因为先生曾要求我做的，我却并没有怎么做．细细看来，这一题一题，按照次序写下来，一题不拉；每道题一步一步，老老实实的，不厌其烦，一步都不跳，一点都不省略．而其中每个字、每个符号，也都是秉承他一贯的风格：工工整整、一丝不苟．而这是一位年迈的教授亲手做的呀，这又让我很惭愧．我本来认为已把整本教材的习题基本全做了，没有太大的必要再做了，可那时才知道我做的那些东西在质量方面跟先生做的实在无法相比．”

    阮先生那时拿给我的由他亲手做的这几摞习题的稿子，对于我真正起了鞭策作用．在撰写本书过程中，我就再也不敢偷懒，而是尽量按照先生的风格去写．那一阵子，我与先生每隔两、三天就碰面，也经常讨论本书撰写的事．他由于要开一门新课，所以他解的题就少一些，但他经常看我写的稿子，一步一步看，并时不时提出意见．偶尔碰上难题，我给卡住了，就跟先生说．多半是第二天，或者过几天，先生就会与平常为我解答科研上的一些难题一样拿给我这道题的详细解答，工工整整地写在纸上，我只要录到电脑里即可．我也把一些题的解答与一些流行的量子力学习题解答的书比较，发现跟这些书不一致的地方，我就很着急．先生说，不同的人解一样的题，有不一样的地方很正常，但涉及到谁对谁错的地方要特别小心．他让我再检查检查，他也会检查和演算一遍，先看看是不是自己搞错了．如果确实是人家错，还要看看人家错在哪里，为什么错，他会鼓励我不要怕，就按我们认为正确的写．正如平常阮先生言传身教不断让我们体会到的：做学问不要认权威，应该认真理．我还相信，如果是我跟曾先生讨论这种问题，他也会给我一样的体会的，曾先生在他的书中写道“吾爱吾师，吾尤爱真理”．

    因为有阮先生作后盾，那时候我们的书稿撰写非常顺利．然而因为一场急性病，先生在2007年春天学期开学的第一天住进了医院并在两个月后就去世了．记得阮先生住院期间，他还谈起过本书的事，而我也曾问过他问题．阮先生的去世意味着先前我们之间的顺利合作不得不中止了，书稿也因此被搁置起来，很长一段时间没有动笔．直到贾杨编辑催稿，我想此书实际上大部分工作都完成了，再怎么样也应当设法完成．编辑同意本书交稿时间推迟，于是在朱栋培、吴强两位教授的直接帮助下，我又开始着手编写．那段时间也得到了很多老师的鼓励和帮助．但也许是因为少了与阮先生的讨论，少了阮先生的督促，书稿撰写变得迟缓了许多，交稿时间也一推再推．因为贾杨编辑要负责别的书，此书后来又改由窦京涛编辑具体负责，昌盛编辑也非常关心本书．

    在一次会上，我又碰到了安徽大学徐辅新教授．徐老师特地拉我在一旁说话，他问我书写得怎么样了？徐老师说，曾谨言先生一直关心本书的编写．在阮先生去世以后，徐老师已告诉曾先生，此书主要由阮先生的一个学生在写．后来，徐老师每次与曾先生见面或者通电话时曾先生都要问起此书，最近一次曾先生问起来还说他愿意提供帮助，如果出版时碰到问题，他可以跟出版社说．

    我二十年前做学生时初学量子力学读曾先生的书，后来随阮图南先生讲授量子力学直到现在自己独立讲授量子力学又一直是用曾先生书．我还因为在中国科大讲过几种类型的量子力学课堂，所以曾先生的各种量子力学教材全用过，此外也读过他编写的其他量子力学著作．我读曾先生书，用曾先生书，对曾先生满怀敬仰，可是始终没能与曾先生有过面对面认识的机会．记得我曾经听过曾先生的报告，报告会后带着问题挤在后面想去问曾先生，可是也没轮到我问．我这次因为阮先生的关系，得以有机会编写曾先生名著的学习辅导书，已殊感荣幸，现在又得到曾先生如此关心，真是十分感动．

    书完稿了，它主要是阮先生等老师与我合作的产物，也得到了曾谨言先生等多位老师的关心或者帮助．“如临深渊，如履薄冰”，这段时间里我满怀虔敬、小心翼翼地做着本书的编写工作，衷心希望它正式出版以后能够如阮先生所说的“让学生看了受益，让读者满意”，不辜负各位热心人的期待．

张鹏飞
2009年9月9日

張鵬飛教授：對沈惠川《經典力學》一書的評論

張鵬飛教授：對沈惠川《經典力學》的評論


      近年来，我有幸与沈老师有较为频繁的学术交流和讨论，范围涵盖分析力学，统计力学和量子力学基础等。讨论中，有时我们会当场在纸上作示意、计算或推演。我很钦佩沈老师深厚的物理和数学功底。另外，沈老师到目前已发表学术论文百余篇，力学方面的研究论文有几十篇。正因为这样，他撰写本书立足点高。本书以沈老师在中国科学技术大学20多年讲授经典力学或理论力学的若干次授课讲稿为基础，此外他还广泛研读国内外名著，通过各种途径与吴大猷教授、钱伟长教授等名家交流，采百家之长，加以经过长期的酝酿，使他得以完成一部有份量、有特色的精心之作。
      本书以Lagrange力学和Hamilton力学为主线，旁及Newton质点和质点系力学、Euler-Newton刚体力学、Hooke-Navier弹性力学。分析力学约占全书百分之八十的篇幅。分析力学的观念和理论方法是理论物理后续课程，乃至量子场论不可缺少的基础，本书结构这样安排非常合理。
      本书对于一些重要的物理和数学概念都作了较完善的处理，并进行透彻分析和精到讨论，甚至在一些细节上也非常用心，也反映了作者学术思想的成熟和深刻。如关于Hamilton正则方程的详述了三种推导方法等。不回避难点，如对非完整系统的Chetaev条件和Vacco条件的适用性进行了讨论，并提出了统一二者的所谓“Euler条件”等。作者还澄清了一些容易混淆的术语，譬如运动积分和守恆量，循环坐标和可遗坐标等等。
      本书除了分析力学理论之外，对于经典电动力学、热力学、统计力学和量子力学的相关内容也有所涉及，体现了分析力学的基础性和开放性。并且介绍了很多应用的例子，譬如耗散问题、微振动问题、RLC回路等等。每一章都配有大量的精心编选的例题，并作了规范而详细的解答。
     《经典力学》观点新颖、思想深刻、概念准确、叙述流畅，无论对于研究参考还是对于教学，都是一本难得的好书。

张鹏飞教授：《量子力学学习指导》跋

    多年以前的一个早上，我的导师阮图南先生要我到他上课的一个课堂。先生让我走到教室
前面，把我介绍给了全班同学，说以后我要和他一起参加教学活动。在同学们热烈的掌声中，
我不胜惶恐地讲了几句话，大意是一定尽力而为。这样开始一起与先生承担量子力学的教学。
起初，我只是在先生出差的时候代几次课，后来授课的次数逐渐增加。

    先生当时要我参加这门课的教学时，一些谆谆教诲的话语如在昨日。“这门课是重头戏，
我去教材科领书时，连那里的师傅都这么说”；“给本科生上课不要贪多，但一定要透，不要
含糊”；他还讲了李政道先生回国访问时，都还惦记着上课的事要赶回去的例子，讲“现在有
的小年轻，不好好上课，不行的!”；“自己有一桶水，才能有一碗水给学生”。先生批评我口
才不好，反复跟我说给学生讲课一定要练，自己讲之前就要练。那时我每次讲课之前，先生都
要把他的讲稿给我，跟我讲哪些是要点，非讲不可一定不能省的，而哪些又是可以不讲的。这些
应该这么讲，那些又应该那么讲，不胜耐心。

    先生要我重视这门课的教学，他自己正是这么做的。先生的量子力学讲稿每讲一轮都会
重写。他的讲稿，看起来很随便，有些用的都是发黄的稿纸、一些会议材料的背面或者用过
的复印纸背面。他一张一张写，写了一摞，便拿个夹子一夹或者用订书机一订。这一摞一摞
讲稿里面，每页纸上每个字、每个符号，每个公式都写得工工整整、稳稳当当，一丝不苟，
显得那么自信与正确。我有事到先生家去，要碰上他正备课的时候，他便常让我在桌子对面
先坐一会，仍是对着他的讲稿凝思，等他一个式子写完，才来招呼我。先生可能是除了体育
以外，没有其他业余爱好的，平常一有空就是做演算，写讲稿。他到外地去，也带着讲稿，
一有空就开始写或者演算。我想正是他课堂以外下的功夫，使得他上课可以基本不看讲稿，
在讲台前一黑板一黑板地写。

    先生说要求学生做的，自己要先做到。那次他问我，教科书上的习题做没做? 我说，我
以前读本科上这门课的时候，把那时用的曾谨言先生编的教材上的习题全做过了。只不过现
在用的教材，是曾先生后来编的，可能有一些新题。先生说，以前做过的，现在也应该做一
些，特别是新题，一定要做。只有做了，才有把握让学生做。而我因为各种原因，他讲过以后
有一段时间都还并没有真正花多少时间做题。过了一些天，先生拿给我几摞稿子，“喏，这是
我做的。”他要我整理一个教材的全部习题解答，他做了前面一部分，但后面部分他那个学期
不一定有那么多时间做了，看看我能不能完成。他还告诉我，前3章已经请助教录到电脑里了，
要我核对一下。我拿起这几摞稿子，翻了翻，虽说已跟随先生多年，还是觉得很惊异。因为，
我原先也曾做过几次助教，印象里习题一般都是助教的事，主讲老师一般都是不太管的，而
先生现在却已做了这几本厚厚的稿子。这也实在让我心下惭愧，因为先生曾要求我做的，我却
并没有怎么做。细细看来，这一题一题，按照次序写下来，一题不拉；每道题一步一步，老老
实实的，不厌其烦，一步都不跳，一点都不省略。而其中每个字、每个符号，也都是秉承他一贯
的风格：工工整整、一丝不苟。而这是一位年迈的教授亲手做的呀，这又让我惭愧。我本来认为
已把整本教材的习题基本全做了，没有很大的必要再做了，可那时才知道我做的那些东西在质量
方面跟先生做的实在无法相比。

    阮先生那时拿给我的这几摞习题的稿子，对于我真正起了鞭策作用。我按照先生的要求，
把剩下的题全部解完，加上先生的稿子，并以此为主，形成了一个量子力学习题解。并在2004年
9月赶印出了讲义，供听课的学生作学习参考。那个印本出来的时候，作者署名处先生一再坚持
把他的名字不写或者写在我后面。记得他拿到讲义时，非常高兴。在课程组开会时，就向大家
介绍这个讲义，说是我写的，把他的贡献完全隐掉。

    这个讲义出来以后，较受欢迎，得到众多老师、同学的赞许。特别是王安民教授、尹民教授
等人给了我很大的鼓励。后来，也收到了来自众多使用的同学、任课教师的改进意见。过了一年，
习题解又出过一个修订版。朱栋培、吴强两位教授除了提出很多意见外，当很多老师建议出版时，
他们也愿意把他们多年教学中形成的、汇聚他们心血的材料补充进来。吴强老师说只是为了方便，
希望这个东西出版后，学生方便，自己在教学中用起来也方便。吴强老师跟我说，他只是想帮忙
把这个书搞得完善一点，他不要署名。我跟阮先生说的时候，先生说：“这非常好啊，这两个人
都教了好多年量子力学，比我多好几年[先生原先曾讲过力学、电动力学、量子场论、高等量子
场论等，但讲授量子力学可能还是2000年以后的事情。]，他们手头一定有好多宝贝的。”当我说
吴强老师提出不署名时，先生马上急了，“这怎么行，干了活当然要署名。他要是不答应的话，
我做他的工作。”

    书出版的事很快就落实了。但先生说，要出的话就不能简单的出一个习题解答，要多站在学生
的角度想，让他们打开来看真正有收获，要让买的学生觉得值，觉得满意。那次，先生就在我的办
公室，一条一条数来，应当增添什么什么。书名应当称“量子力学学习指导”，就是给学生用的。
要注意启发学生，启发他们自己去获得活的知识。先生还特别指出，要写一个量子力学概要，篇幅
尽可能短，但是浓缩精华，还应包括最主要的思想、原理和技巧。他大致说了几条，说他可以先写
一个稿子。

    这么一个稿子还没写出来，因为一场急性病，在这个春天学期开学的第一天先生住进了医院。
躺在病床上的先生，挂念得最多的还是他的科研与教学。一开学就只能躺在病床上，而这学期是
有他的课的，先生心里的着急可想而知。可医生跟他讲要在病床上打持久战了，他也只能接受。
我每次去医院看他，问先生的身体状况，可先生基本上只跟我谈业务(科研与教学)。病魔的折磨，
使他备受煎熬，到后来他会痛苦地呻吟甚至吼叫。但跟我谈论业务时，他的表情永远是安详的。
一直到我见他的最后一面，他始终是乐观的，他还有他宏大的计划，他不能离开讲台，他还想出版
一套系列书，他还想进一步研究胶子球的动力学、自由电子激光、非对易量子力学......先生在病
床上说，《量子力学学习指导》既然出版社催稿，那就尽快交。目前主要可能要靠朱、吴两位教授
帮忙，他一下子可能帮不上忙了，应该把他的名字署在最后或者不署。

    在住进医院的两个月后先生永远地离开了讲台和他甘愿倾注心力的学生们。

    现在《量子力学学习指导》总算可以交稿了。我们尽量按先生的要求做，让读者满意。但因为
先生在本书中起的作用，先生“不署名”的要求只好违背了。这是先生参与编写的在他过世以后
出版的第一本书。应先生众多生前同行、学生的要求，先生的授课笔记还会陆续整理，并以适当
的方式出版。因为先生的要求，我曾经参与了阮先生的科研导师朱洪元先生的群论遗著的整理。
先生曾一个字一个字地校改，还不放心，要求我对着朱先生原稿一个字一个字地再校一遍。关于
朱先生这部遗著的出版，他一再寻求机会，令人感动。现在朱先生群论遗著的出版终于可以落实
了，也当是可以告慰先生的一件喜事。先生大量的授课笔记，我们也会按照先生一贯的行事风格，
认真整理，争取尽早出版面世，让众多青年学子、物理工作者受益。

    我本人在多年以前听阮先生的量子场论课时，曾在听课笔记本的首页录下一段庄子记载的颜渊
与孔子的对话“夫子步亦步，夫子趋亦趋，夫子驰亦驰；夫子奔逸绝尘，而回瞠若乎后矣”。当时
录这一段话主要是出于对先生博大精深的量子场论体系的敬仰和虔诚。在我随先生日久之后，对他
的畏惧日渐消退，也可以欣赏他的诙谐和调侃，但是这种敬仰却更为深切和真实，并扩大到各个
方面。他的为人处事，他的学识，他的敬业精神，无一不是青年后辈的楷模。

张鹏飞
2007年9月29日

阮图南老师生前参与编写的《量子力学学习指导》将出版

    全书39.7万字，由中国科学技术大学出版社出版，将很快付印。
这是阮老师参与编写的在他过世以后出版的第一本书。本书作者为：
张鹏飞，阮图南，朱栋培，吴强。中国科学技术大学理学院院长、
中国物理学会理事长杨国桢院士为本书作序。

张鹏飞教授：《量子力学学习指导》序


     本书是我们在中国科学技术大学多年讲授量子力学形成的一个教学材料，可供大学生
在初学本课程时或者复习考研时参考之用。它的主要内容包括量子力学概要、240余道习题
的解答和有关分析讨论、5份模拟考试试卷和参考解答以及101道简答题。“概要”是参照
本科教学要求，对量子力学基本线索和基本内容的一个概述，希望有助于读者建立量子力
学总的图像，理清它的基本框架结构。240余道习题包括曾谨言先生所著《量子力学导论》
(1998年，第2版)以及《量子力学教程》(2003年)的全部习题(部分题目略有改动)，另还有
增加的百余道习题。增加的习题多数为我们自编，也有部分取自国内外相关资料并且是我们
在教学中经常使用的习题。5份模拟考试试卷由我们自拟，难度与我校硕士研究生入学考试
试题相当。101道简答题的相当一部分取自一些研究生招收单位的面试题。

   “概要”的内容编排上，大部分参照曾谨言先生所著教材，也有少部分地方作了调整或
者补充。曾先生所著教材历年来在国内量子力学教学中广泛采用，我们这样安排，也是为了
尽可能让大多数同学方便。而“习题”的分类编排也大体根据其内容按照曾谨言先生《量子
力学导论》的章节排列，且原来是《导论》中的题，各章均基本按照原书的顺序放在前头，
这样也许对用《导论》一书的同学最方便其余的题放在后面。每道题(包括模拟考试题)的解
答都尽量详尽。量子力学习题，只要你用心揣摩，往往会发现有多种解法，即所谓解无定法，
“不管白猫黑猫，能抓到老鼠的都是好猫”。书中的很多习题正是有多种解法。一道题有多
种解法时，我们一般也并不列出所有解法。除了少数题有特别巧妙的解法列出外，我们往往
有意给出较繁的解法，这样做主要是为了利于大多数同学学习。同学懂了以后，自己会给出
他最简单的解法。

    量子力学是研究微观体系(如电子、原子、分子等)运动规律以及相关现象的基本理论，
它与相对论并称近代物理学的两大支柱。从它诞生至今80多年来，量子力学不断取得辉煌成
就，并且处在不断地丰富和发展中。然而微观体系的现象或者行为与日常现象有质的差异，
在以日常经验的观念看来往往显得极其怪异费解。量子力学以普朗克常量$hbar$为表征，
以波粒二象性为基本图像，而其状态的描述竟是借助于看不见摸不着的几率幅。它的语言，
它的规则总让初学者感到陌生。

    此外，有关量子物理基本概念和原理的诠释，80多年来一直存在持续的争论。量子物理
堪称玄妙无比。N.Bohr说过“假如一个人不为量子论感到困惑，那他就是没有明白量子论”。
R.P.Feynman又说“我想我可以放心地说，没有谁理解量子力学”。

    那么，如何学好量子力学? 这是每一位初学者和教师都要面对且必须认真考虑的问题。
根据我们的经验，我们愿意在此提几条粗浅的建议，供读者参考。

    1. 初学者应该有一个大的观念转变。从经典力学的顶峰到量子力学的创立，是一次
脱胎换骨，因此量子力学与经典力学有着显著的差异。初学者应该本着科学的精神，了解
并尊重产生新概念、新思想的历史背景及实验基础，还应当经常有意识地剖析自己在宏观
世界日常经验中的观念，剖析经典物理学的观念。R.P.Feynman说：“要理解这个世界上
我们所见到的几乎所有现象背后，自然界真正如何运行，我们非违背常识不可”，尽管他
喜欢讲常识，并重视基于常识的判断。

    2.遵循认识规律，注意循序渐进。初学时主要是观念的转换，逐渐熟悉新的“语言”、
符号，了解新的规则，再学习相关的计算方法，并尝试解决一些问题。应多从简单的例子入
手。不妨一开始对量子力学作一远景式探视，心目中有了一个总的图像以后，再一步步踏入
胜景。碰到的疑难，不要期望全部解决。有些可以通过思考，通过请教，与同学讨论等途径，
而得到解决。有一些疑难，学习现阶段还无法克服，不妨放一放，留待后面阶段学习来解决。
还有一些疑难或者争论，本身就是目前量子力学尚未解决的，可以作适当了解，知道目前知
识达到的边界，也不妨留一两个在心头，准备在未来的岁月里寻求答案，但在初学阶段不宜
在上面花费过多时间。

    3.理清基本线索和基本内容，掌握基本概念与原理。做到“知其然、知其所以然”；以
把握物理实质为原则，避免钻牛角尖。量子力学远离日常熟悉的经验，有些初学者可能会长
时间觉得不着边际，总感觉陌生费解。如果发现自己在某个方面卡壳了，最好是去研究有关
的物理实例。对一些重要的例子，应反复“品尝”其中的“滋味”，多多琢磨。切记对原理
的领会与掌握应结合实例。似是而非、似非而是的地方要特别小心，切忌轻信妄断。不妨多
问问自己“我真懂了没有?”。不妨再选一本与所用教材风格不同的参考书，对有志于学的
青年学生，我们推荐原汁原味的世界名著。在一些概念、原理的阐述上，可以用参考书与所
用教材相互比较、印证，这有助于加深理解、加深认识。经过一定的学习、思考和总结，对
一些概念、原理形成自己明确的认识之后，就应该勇敢地坚持自己的看法。

    4.不要让繁琐的数学演算成为学习和领会量子力学物理实质的障碍。数学是物理学的工
具，数学演算决不是量子力学的全部。王竹溪先生也说Dirac的《量子力学原理》通篇都是讲
物理。须知Young双缝实验是量子力学的心脏，而两能级体系也可以展示量子力学的全部基本
原理。初学者还是应当多从简单的例子入手，把学习重点放在基本概念和原理的领悟与掌握上。

    5.关于听课、讨论和交流。由于这门课程的性质，学生必须重视听课。有的学生想自学，
那他花的力气再大效果也不好，而且如果初学没学好，以后回过头再补可能会更加困难。教师
应当当好引路者的角色，把学生导向量子力学的实质、量子力学的核心。教师还应当是一个高
明的启发者，能调动学生积极主动的思考。为了取得好的听课效果，学生课前最好要预习，
课堂上还应当记笔记，记思路、要点和有特色的内容，并且在课后认真复习、总结。量子力
学中似是而非、似非而是的地方不少，这种地方需要反复讨论或者争论才能明白。初学者应
当多提问、多讨论、多琢磨。%物理

    6.在相关原理和概念充分理解的基础上，自己动手做一些习题。量子力学除了要用心学，
学到脑子里，还要学到手上。学量子力学，如果不去完成一定量的习题，那就好比一个人
只学习游泳的理论而自己从来不下水一样。通过做习题，就会了解如何运用所学知识，对它
的领会也会更加深入。做习题决不仅仅是想明白怎么做，还要动手一步一步把它做出来。
“想通了”跟“做出来”是两码事。思考可以跳跃，有时也许会出错。自己动手做的，你只
要一步一步都不含糊，做完了一般都很有把握。所以，我们主张同学一定要自己动手做一些
习题，哪怕你时间不多，因此只能做一部分。平常学习中，应在对所学知识作复习、总结的
基础上做题，这样就不会盲目。做题时，应当先看清题目，明白题目的全部条件和要求，再
回忆学过的知识，多方面思考，不妨画画草图或者写写算式作辅助，寻找解题思路。想通了
怎么解题以后，开始一步一步，遵从逻辑的顺序，从题目的条件，已知的概念、原理、事实，
到达结论。题解完后，最好再琢磨琢磨题目有没有更妙的解法?它能否运用到一些特例?
它能否推广? 它有没有更深的物理意义? 等等。

    7.要学会欣赏量子力学的优美。Einstein诗一般的语言“这个世界可以由音乐的音符组
成，也可以由数学的公式组成”令人引发对科学美的遐想。可以说，量子力学是科学美的典范。
她体系自洽和谐，形式简洁优美，这体现一种整体的美感。在量子力学中还有许多俯拾可见的
美，如基本对易关系的简洁，对称性，狄拉克符号，理论体系的数学形式，在确定性丧失以后，
秩序、和谐、统一仍得以重建......初学者在学习本课程一段时间后，如果能够逐渐开始领略
和欣赏量子力学的优美，那他(她)就已经走出了对量子力学的“讨厌”或者“苦恼”，从而会
更加主动地学。

    本书可供初学量子力学或者是复习考研的同学参考用，主要目的是为了方便大家学习
或者复习巩固。当然我们最不希望同学图这样的“方便”，只是简单地拿本书的习题解答部
分来应付作业抄抄完事。我们愿意在此再次提醒各位同学，只有自己动手用心做一定数量的
习题，才能把量子力学学到手。我们向同学建议，当拿到一个习题时应当：(1)自己先做，
把它完成；(2)如果自己反复思考都不得要领，那可以先查阅一下本书。边看边思考，想清
楚解题要点后，合上书，仍是自己独立完成。习题做完以后，再翻开书看看，把自己做的与
书中的解法做做比较，这样让你学得踏实，等等。我们希望本书给同学提供的不是思想的束
缚，也不是拐杖，而是启发，是灵感。正如诗是做不完的一样，量子力学习题的解法往往层
出不穷。我们期望，同学们在自己用心做一些题以后，会发现乐趣，同时会给出一些更好的
解法。假若同学们发现了更多更好的解法，而本书也就起到了抛砖引玉的作用，这正是我们
最希望看到的。

    我们愿意告诉读者的是，本书本身是教学相长、教与学相辅相成的产物。我们是一支老
中青结合的教学队伍，从资历最浅的学生所称的“张哥”，到当时学生所称的“阮爷爷”，
都与学生保持一种近距离的交流关系。我们深深感到，学生与我们富有启发性的讨论、我们
与学生的交流也让我们受益良多，充满乐趣。本书中一些题的解法(特别有一些解法，还是我
们意想不到的)就直接取自同学的作业，还有些内容完全是在与同学的交流中产生的。我们同
时深深体会到，量子力学的教学不应该只是讲授了什么东西，更重要的是要让学生进行主动地
思考。量子力学本身还在向前迅猛发展，它是一个开放体系，它不是绝对真理。教师不要当成
教条来讲授，学生也不要当成教条来学。通过质疑、交流、讨论、争论，学生得到的才是活的
知识、真正的知识，才能真正领悟量子力学的精髓。

     基于这种考虑，逐渐地，我们在教学中设计了一些简答题，见本书附录中列出的101道简
答题。101取英文里“多”的含义，其中相当一部分取自一些单位的招收研究生或者个别国外高
校代表来华招生对申请者的面试题。我校一些学生参加了这种面试回来以后，便把这些题与我
们交流。这种题我们几年间也收集了不少，它们在某种程度上反映了各研究生招收单位对学生
量子力学掌握程度的要求，对教学(相信对于同学的学习也一样)大有参考价值。这些题，我们
有意不给解答。我们希望同学们对这些题进行一些思考，用心琢磨之后，能够有所悟，
有所得。

    杨国桢院士曾在我校倡导加强量子力学教学。日前他在百忙中又为本书撰写了序言，对他
的热忱支持我们在此表示由衷的感谢。王安民教授、尹民教授等人给予了热情的鼓励和帮助，
沈惠川、陈慧平等教授提出了改进意见，部分引自英文内容的文字翻译得到了张光前教授的指
点，中国科学技术大学出版社给予了大力支持，我们在此一并深致谢意。此外编者之一(张)还
要衷心感谢张永德教授。张老师曾义务为年轻教师开设“量子力学疑难问题”系列讲座，此外
他的著作和报告，特别是与年轻人面对面的交流，都让年轻人获益良多。

    我们还特别感谢历年来我校少年班、理学院、化学院、地球科学学院等选修我们《量子力
学》、《量子力学专题》课程的同学，感谢他们对量子力学的兴趣，感谢他们与我们富有启发
性的讨论，感谢他们的各种意见。对历年来的助教王舸、葛红林、成斌、马小三、王安、刘键
恒、邹冰、尹鹏程等人的工作也在此致以谢意。

    虽然我们希望做到最好并且也尽了力，但限于我们的水平，估计本书不当之处还是在所难
免。对此，我们恳请广大读者谅解。我们诚挚欢迎使用本书的教师或者学生通过下列联系方式

       Email: zhpf@ustc.edu.cn,  Tel: 0551-3606234

向我们提出宝贵的批评和建议。

编者
2008年4月于合肥