沈惠川：《统计力学题谱》跋

    《统计力学》及其《题谱》的撰写终于进入尾声. 在本《题谱》行将完稿之际，回顾一下自己的学术经历和缅怀一下必须深谢的师长是完全应该、十分必要的.

    早期统计力学中有一个著名的“遍历性原理”（又译为“各态历经原理”）；我本人在统计力学领域的学术经历（从感兴趣到进入研究）也同样是“遍历”的. 如果从求解流体动力学中的Navier-Stokes方程开始算起，已有不少年头了；即使从讨论气体运动论中的Boltzmann方程开始算起，时间也算够长的了. 然而，由于Navier-Stokes方程和Boltzmann方程都十分复杂，因而我从前在这两个方面基本上都无大建树. 当然，尽管如此，毕竟积累了知识，初探了幽径；至于研究中的思考，计算中的艰辛，修改时的自以为是，发表后的遗憾反省，不说也罢. 凡是做过研究工作的人，大多数都能意会. 真正一步到位、一鸣惊人的文章，其实很少；都有一个由必然王国走向自由王国的过程.

    除了书本上的知识之外，对我在统计力学方面产生兴趣和深入探讨有所影响的人物，有中国科学技术大学的一些同事（例如汪秉宏教授、郑久仁教授等，还有早前就已离开科大的张之欧老师），但主要是王福山先生和吴大猷先生.

    吴大猷先生是李政道和杨振宁的老师；在我与他通信的当时，他还是台湾“中研院”的院长. 吴大猷先生关于热力学和统计力学的言帘卷西风论现在已收录在吴大猷著（金吾伦、胡新和译）《物理学的历史和哲学》（中国大百科全书出版社，北京，1997）和《吴大猷科学哲学文集》（社会科学文献出版社，北京，1996）两本书中，其中第二本书中有6篇文章是有关热力学和统计力学的. 吴大猷先生的《热力学、气体运动论及统计力学》（联经出版事业公司，台北，1979；科学出版社，北京，1983、2010）一书和他的《古典动力学》（联经出版事业公司，台北，1977；科学出版社，北京，1983、2010）是我最钟爱的书中的两本；我曾写信告诉他，我最喜欢他的这两本书. 吴大猷先生在通信中关于热力学和统计力学的教诲在我的《统计力学》一书的代序中已经提到，这里不再详谈.

    我在此处要补记一下王福山先生与我之间有关热力学和统计力学的通信内容，作为我对王老师的追思.

    王福山先生是复旦大学物理系前主任；在我结识、拜见他时，他已经退休在家. 他是我所认识的老一辈科学家中最为平易近人的一位. 在没有结识吴大猷先生之前，他与我就已是忘年之交. 王老师与我之间的通信是从讨论他的译作《一个非政治家的政治生活：回忆维尔纳·海森伯》（伊丽莎白·海森伯Elisabeth Heisenberg著，复旦大学出版社，上海，1987）开始的. 他给我的最后一封信是随他为专刊《Werner Heisenberg in Leipizig，1927-1942》所写文章的抽印本同时寄来的. 我们之间最经常的话题就是Heisenberg. 有关Heisenberg话题的大部分内容，已收入拙作“王福山先生谈海森伯”（物理，1995，24（2）；（5））一文. 除此之外，我们还评论其他物理学家和讨论当时热门的物理学问题. 王老师有时还回忆他1929年至1940年间在德国的留学生涯（他的记忆力至老不衰）.

    我与他之间关于L Boltzmann和P Ehrenfest之死因新说的讨论，是由1990年第13卷第2期《自然杂志》上署名为葛墨林，李新洲和关洪的文章“玻耳兹曼晚年考”引起的. 我开始仅记得葛，李两位的姓名（我早就与葛在其访问科大时相识，李也曾来过科大），后来才记住关洪的姓名. 在1990年4月的长沙“全国量子理论基础问题暨玻姆学术思想研讨会”上，我巧遇关洪先生，此时方知“玻耳兹曼晚年考”是由李新洲先生提供素材而由关洪先生执笔的. 在“玻耳兹曼晚年考”一文中，他没有将Boltzmann的死因讲得十分明白，但私下他认为Boltzmann的死因是“同性恋”. 对此结论，我至今表示怀疑. 我想起在意大利Triest ICTP期间曾看到一本《玻尔兹曼传》，但我记不清书中是如何说的了.（亦可参阅近年Cario Cercignani的《Ludwig Boltzmann： The Man Who Trusted Atoms》，Oxford University Press，1998；中文版，《玻尔兹曼：笃信原子的人》，上海科学技术出版社，2002）在长沙会议之前，我就此问题请教过王老师，王老师是这么说的：

    “葛墨林，李新洲等三人在《自然杂志》上的文章，我未看到过.（事实上我近年来一直很闭塞！）不过他们要写这篇文章我是知道的. 事情是这样：大概在1985年我们为《近代物理学研究》第二辑快定稿的时候，我同金尚年在理论物理教研组商谈中，李新洲在旁听见了（金尚年书桌旁边就是李新洲的书桌）. 那时他大概刚从意大利回来不久，说起在意大利他们去过玻耳兹曼疯了自杀的地方. 我请他快点写一篇观感文章收入. 他写了. 我看后希望他为完整起见在某些方面再增加一些内容，以符合刊登要求. 他说这要与兰大葛墨林一起来写了. 这样就拖了下来. 我们在收集第三辑稿子的时候，他们交来与否，我已记不清. 反正后来这些稿子退还了原作者（因为我前已说过，复旦出版社不愿意再赔本）. 现在载于《自然杂志》上的你说由三人合写，不知还有一位是谁？以前未闻李说过. 实际上，这确实是很好的物理学史料. 你准备以后托人把ICTP图书馆的玻耳兹曼传记复印一本，恰是值得. 玻耳兹曼的两本《分子运动论》，我以前在德国作为经典著作（旧书）买下了，但未翻阅过.”

    在后一封信中，王老师接着说：

    “《自然杂志》上关于玻耳兹曼文章的另一位作者你说是关洪同志，四年前（1986年）他来过复旦我也认识. 这个调查说是受杨振宁委托，是可能的，因为杨对物理学史很感兴趣，并且也很重视. 但李新洲那时没有提到这点······关于玻耳兹曼的自杀，你说他们三人只是从其学生厄伦菲斯特是自杀故而断言玻耳兹曼的自杀也可能是非学术的；我记得那年请李新洲写访问玻耳兹曼自杀地之游时，似乎当时大家认为可能由于玻耳兹曼提出分子运动论遭到人们大力反对，后来发了疯以至于最终自杀. 当然这个说法需要好好考证一下才对. 不知你说的那本玻耳兹曼传记里是否可查？但是关于厄伦菲斯特的自杀，他们认为是三角恋爱这一点，我倒有个可能比较可靠的说法：我在哥廷根读书的时候，有两个我们经常在一起的学数学的同学，一位是蒋硕民（现在北京师范大学），另一位是程毓淮（现在美国马萨诸塞大学Amhert分校），他们都是柯朗（R Courant）的学生. 有一天，不知是1930年或1932年（这两年中间我在南德黑林地区一个疗养院里因病住了一年半），他们一同来到我住处. 蒋对我说，厄伦菲斯特自杀了；事情是这样：他的儿子患了一种不治之病，躺在医院里；他经常去看病，看到他非常痛苦，心里很难过. 有一天厄伦菲斯特带着手莫道不消魂枪去医院把儿子打死了，免得他继续受苦. 他自己也就当场用手莫道不消魂枪结束了生命. 我觉得这是比较可靠的，因为蒋和程不是读物理的；这消息他们一定从报纸或杂志上得来的，而程是订了柏林的一种日报的. 这件事在我的印象里很深，至今未忘. 那次我们议论玻耳兹曼的自杀时，我把这情况告诉过金尚年，李新洲等. 但是，现在要找到可靠的记载才能完全确定. （我当时是否问过蒋和程消息何来，已记不起来.）我建议，先查出厄伦菲斯特哪年死. 如果记载中没有其死的原因，可以再查一下那年份的《物理学记事》或《物理学杂志》两种德文物理杂志. 一般而论，它们总是把稍有名的物理学家的死讯及半身像及时刊登出来的. 复旦有这两种杂志（齐全的，1952年从浙江大学调来的）. 可惜我那时已不住在学校，每星期去一天或两天，没时间去查，后来根本忘了. 如果查不到，则还有美国的《科学家生平辞典》以及各种百科全书（德国的有《Brockhans》和《Mayer-Lexikon》两种）可查阅. 只是猜猜而猜到三角恋爱上去，我认为不好.（我以前在德国似乎听到过说厄伦菲斯特的太太也是搞统计物理的.）同样玻耳兹曼的死因最好也弄个清楚.”

    这件事很奇怪，的确在许多科学家传记（例如M J Klein的《保尔·厄任费斯脱：20世纪初著名的理论物理学家的成长历程》，清华大学出版社，北京，1999）中都没有Ehrenfest的死因介绍！但是，关于Ehrenfest的讣告倒是刊登在1933年9月26日的“Leids Daglad”报上. 王老师记得基本上没错！

    我有一次对王老师说，我对I Prigogine的大多数观点都同意，但就是不能同意他说的“其它物理学分支的基础方程都是可逆的而只有耗散结构理论中所讨论的基础方程才是不可逆的”这种说法. 我说，Newton方程或Schrödinger方程中的势函数若不仅是位形的函数而同时又是速度或动量的函数时，就表现出不可逆性. 在广义相对论的Einstein场方程中也是如此；即使不考虑含有黏滞项的能量动量张量，若原时间隔中含有时间-空间交叉项，则同样表现出不可逆性. 王老师听了我的话之后说：

    “你对普里高津的观点大多同意，就是不同意他说只有富里叶（J B Fourier）方程才是不可逆的，继而你说明牛顿方程，薛定谔方程等等在特定条件下也是不可逆的. 我认为很有道理. 不过我在想，普里高津为什么没有想到这点上来？或者他的断言出于另一种原因，比如说最简单的；他只是就牛顿等方程的原来意义而言. 这问题我未涉及过，所以不敢多说.”

    在阎康年先生的《热力学史》出版前，我曾向王老师打听过热力学原始论文，因为我看到过一套由日本人编纂的热力学原始论文集. 王老师说：

    “热力学原始论文，我们以前是想出书. 后来可能销路问题只是按照当时已有的所刻蜡纸油印了一些，一套有几本·······这些原始文章主要是复旦理科大批判组时化学组胡家璁同志收集起来并翻译的. 我记得有热力学第一和第二定律方面的，其中如亥姆霍茨（H L F von Helmholtz）的Kraft（力，即能量），梅耶(J R von Mayer)在船上做医生时对人体血液变化的观察，克劳胥斯（R E Clausius）关于熵的几篇文章（凡德文的原始文章我都参与过校和译）. 卡诺（S Carnot）的文章因弄不到德文原文而从英译本译的. 此外当然还有汤姆逊（W Thomson）的文章. 胡家璁确实为此花了许多时间. 四人帮打人比黄花瘦倒后，理科大批判组解散，而这些资料（已刻成蜡纸）全由胡保管着. 后来我们把它们油印并装订成册，知道的就来买了.”

    阎康年先生的《热力学史》出版后，曾寄了一本给我. 由于剩书不多，他没有寄给王老师. 我曾去信问过阎康年先生他的资料来源，阎先生说他确曾参考过胡家璁的油印本.

    王老师的以上言帘卷西风论曾载于我的一篇短文“回忆Heisenberg的学生王福山教授：王福山先生言帘卷西风论钩沉”（未正式发表）中.

    除了热力学史和统计力学发展史的有关话题外，王老师还与我讨论过热力学和统计力学的学科内容；例如对徐业林的小书《从单一室温环境获得能量的实验与研究》（科学出版社，北京，1988）及其实验，对傅信镛的文章《实现麦克斯韦设想的探讨》（上海交通大学学报，增刊，1979，6）及其实验，我们都进行过认真的研究. 1991年，王老师曾建议我凭一篇研究Boltzmann方程的论文去参加全国统计物理学年会，并寄来一本由复旦大学苏汝铿教授编著的《统计物理学》教科书.

    王老师当时就认为我可以凭我对系综理论和统计力学中的数学处理的理解和认识撰写一本新的统计力学教科书；他那时最鼓舞我的一句话就是：“这件事只有你能完成！”他的这句话现在成了我撰写《统计力学》及其《题谱》的原动力.

    老师的给力、“给理”是无穷的！老师的一句话，有可能改变学生将来的的下半辈子. 在此时此刻，我十分怀念当年与王福山先生、吴大猷先生之间无拘无束的讨论场景.

    是为跋.

                                    沈惠川

                                    于中国科学技术大学

                                    2011年1月30日

                                   （1月30日是爸爸沈志煌总工程师的生日）

《经典力学题谱》

跋

    学生做题，是天经地义的事，是为了理解世界、掌握知识必不可少的一个环节，是不得不迈越的一道坎儿.

    我在上海市位育中学（当时曾改名为“上海市第51中学”，著名华裔物理学家田长霖（1935－2002）是我们位育中学1947级的校友）念书时，就喜欢解题，尤其是几何题和代数题（我曾在班上当过几何课代表和代数课代表，甚至当过语文课代表，记得那时班上成绩最好的是胡幼华和王景初两位女生，而不是我这个课代表）. 有空的时候，就一个人（或与邻居的小伙伴如蒋仁达、张闯、经重晖、钱凯等）在弄堂的水泥地上用粉笔之类的东西边画边算；许多难题就是在那种场合被解决的. 第二天去学校，又与吴震家（现在定居于澳大利亚）、马斌华（当时也是数学课代表）、沈如林（现在是杨森公司的副总裁）等同学讨论新的习题. 当时，我的原则是“解题不过夜”、“当天的问题当天解决”，记得有一二次为了解答难题一直搞到午夜或后半夜才去睡觉. 进入清华大学之后（当时担任数学课代表和理论力学课代表），有些力学方面的“大作业”不可能一天解决，才改掉了那“熬夜拼题”的习惯.

    记得在清华大学学习“数学分析”时，用的教材是前苏联G. M. Fihtengoltz的《数学分析原理》（中译本，人民教育出版社，1959），配的习题集是有4462道习题之多的前苏联B. P. Demidovich的《数学分析习题集》（中译本，人民教育出版社，1958）. 这4462道习题，有些相当难解. 我花了一年半时间，牺牲了每天的午休时间（也许对不起还影响了钟勇生、金志胜、何华欣、贾鸿藻、赵国兴等同寝室的同学们的休息），终于挨个儿全数做完，并满满当当工整地抄在8厚本软皮精装的日记本上. 这个中三味，只有亲身经历过的人才会有所体会. 由于8厚本软皮精装日记本的头一本中的插页上有我的几首“歪诗”，因此在文瑞脑消金兽革期间这头一本就被我弟弟沈惠申当废品卖掉了，余下的7本后来也被我自己处理了（因为已不再完整）. 交通大学若干年后出版了一套《Demidovich数学分析习题集解答》，孙和成同学（现在定居新加坡）和陈利颐同学（现在上海交通大学）对我说：“早知如此，你就不该当废纸卖掉！说不定这套《习题解答》就是你的！”

    除了这4462道数学分析习题外，在清华大学期间还解答了不少其他物理学方面的习题（少说也有近千道），但可惜的是都没有保存下来. 如能保存下来，也许同样伟为壮观.

    1977年到中国科学技术大学当上了教师. 教师解题，是份内的事，是为了“传道、授业、解惑”之需要，是为可能的“改造世界”创造初始条件.

    实际上，S. Flügge的《Practical Quantum Mechanics》（Springer-Verlag，1974；中译本《实用量子力学》，人民教育出版社，1981）和久保亮五（R. Kubo）的《Thermodynamics: An Advanced Course with Problems and Solutions》（North-Holland Pub. Co., Amsterdam，1968；中译本《热力学：包括习题和解答的高级课程》，人民教育出版社，1982）、《Statistical Mechanics: An Advanced Course with Problems and Solutions》（North-Holland Pub. Co., Amsterdam，1965；中译本《统计力学：包括习题和解答的高级课程》，人民教育出版社，1985）等教科书，就是一本本习题集. 说明S. Flügge和久保亮五等人在上课前或上课时，都亲力亲为解答了不少习题. 要当好一个称职的教师，多解习题是必要条件. S. Flügge和久保亮五等人就是榜样.

    我在中国科学技术大学任教期间，解答得最多的，除了张量（2厚本）和广义相对论（1厚本）方面的练习题外，就是分析力学方面（3厚本）的和热力学统计力学方面的（已有《热物理习题精解（下）》一书出版，科学出版社，2004）习题. 分析力学方面的3厚本习题解答经补充整理后，我重新装订成册，日后成了我上课的本钱（如吴大猷先生所说的）. 个别学生还来我家里借去这“巨册”习题解答以作复印. 科大学生对我所教授的“理论力学”或“经典力学”课程评价相当好.

    国内的大学，在分析力学、相对论、热力学这三门最重要、最基本的物理学学科的教学方面，都舍不得花学时（有理由指出，也许很多物理学教师本身对相对论都不是很清楚）. 在清华大学念书时，分析力学、相对论、热力学这三门学科的教学都是一晃而过（实际上是虚晃一枪），真正学到手的东西少之又少. 其他大学也差不多. 到了中国科学技术大学后，当时为了帮助某些“老三届”报考硕士研究生以及培训新来报到的年轻教师，科大教务处请力学系的何竹修老师（他是清华校友）重新讲解分析力学约36学时，我和清华校友（比我高两届）张家渠－丁凌仙夫妇（他们现在已定居在加拿大）都去听了. 张家渠后来报考程久生老师（也是清华校友）的研究生，他说：“全部理论力学题，我都是用分析力学方法来解的！” 张家渠的这番话，对我当时自主刻苦学习分析力学是一个巨大的推力和鞭策. 何竹修老师的讲稿是他自己准备的（他的矢量符号是按印刷体书写的，当时有点不习惯），但蓝本是南京大学周衍柏的《理论力学》，习题也是周衍柏书上的.

    所以，我解答的第一批分析力学习题来自周衍柏的《理论力学》. 当时，我的宿舍对门住的是叶取源（他后来到上海交通大学当上系主任、副校长）. 叶取源曾写信给周衍柏，说周书的“第一版比第二版强”，并向周衍柏索讨过其书第一版. 周衍柏的第一版，我后来在上海淮海中路新华书店买到了. 我在解答周衍柏《理论力学》书上的习题时，有时与叶取源作过讨论. 叶取源学周衍柏《理论力学》的时间比我早.

    当时国内通用的《理论力学》教材还有梁昆淼的《力学》（下册）. 梁昆淼可以说是国内第一个将《力学》和《理论力学》“打通”教授的人. 梁昆淼的书，总的说来还是有特色的；不过，他的《力学》（下册）中关于“非完整约束”的Chetaev条件的说法以及将Lagrange方程的“广义能量积分”等同于系统的Hamiltonian的说法，是完全错误的. 后来，有些作者延续了梁昆淼的这些错误说法.

    我后来所解答的分析力学习题有部分来自D. T. Greenwood的《Classical Dynamics》（Prentice-Hall，Inc.，1977;中译本《经典动力学》，科学出版社，1982）、H. Goldstein的《Classical Mechanics》（2^nd ed，Addison-Wesley Pub Co.，1980；中译本《经典力学》，科学出版社，1986）和吴大猷先生的《古典动力学》（科学出版社，1983）；也有一小部分来自其他教科书；另有一大部分则是在教学过程中自编的，或者是将已知的习题进行扩展而得到的. 实际上，只要了解分析力学的基本结构、懂得分析力学的程式语言，解答这些习题都是十分简单的；个别的疑难，都是概念模糊所致. Greenwood书上的习题不是很多，Goldstein书上的习题没有给出答案. 除此之外，Greenwood书上和Goldstein书上的某些讲法（例如关于所谓的“推广的Hamilton原理”）也是有问题的，吴大猷先生在给我的信件中已经指出了.

    分析力学中最关键的就是首先要正确写出问题的Lagrangian或Hamiltonian；在Lagrangian或Hamiltonian二者之中，又以Lagrangian更为根本. 为了正确写出问题的Lagrangian，必须首先建立惯性坐标系，其次以约束条件选取问题的广义坐标，然后用广义坐标和广义速度写出正确的Lagrangian. 如果Lagrangian中仍有约束，则对应的Lagrange方程也必须有所改变. Lagrangian写对之后，首先看一下有无“可遗坐标”，其次找一下“广义能量积分”，然后再由Lagrange方程得到问题的运动微分方程. 或者，由问题的Lagrangian根据Legendre变换写出问题的Hamiltonian，其次看一下有无“可遗坐标”、找一下“广义能量积分”，然后由Hamilton“正则方程”得到问题的运动微分方程.

    关于惯性参考系中自由运动的质点，L. D. Landau在其《力学》（中译本，高等教育出版社，2007）中说：“我们立即可以得到其Lagrangian形式的一些结论. 时间和空间的均匀性意味着这个函数不显含质点的径矢和时间，即Lagrangian只是速度的函数. 由于空间各向同性，Lagrangian不依赖于速度矢量的方向，只能是速度大小的函数，也就是说Lagrangian是速度平方的函数.”“由Lagrangian不显含质点的径矢可知……速度是常矢量.”“可见，在惯性参考系中任何自由运动的速度的大小和方向都不改变. 这个结论包括了惯性定律的内容.” Landau接着研究了“自由质点的Lagrangian”，并指出“Lagrangian在速度无穷小变换下满足Galileo相对性原理”. Landau这些由时空特征直接得到自由运动质点的Lagrangian的观点应当引起重视，因为分析力学不仅仅是数学或力学，它首先应该是物理！这就是所谓“Landau风格”！Landau的书之所以好评如潮、经久不衰，不是没有道理的. 当然，Landau的《力学》比起他的另外8本书（《弹性理论》除外）显得单薄了些，其中更是没有多少习题可资利用.

    除此之外，在分析力学中还有一些技巧性的问题，例如正则变换、Poisson括号的计算、Hamilton-Jacobi理论、“化动量正则变换”和“经典对易子”、Liouville方程的精确解等，都可以在解题过程中加以熟悉. 其实都不难. 值得一提的是张量计算在分析力学中的应用：由于引入了张量运算规则，使得某些复杂的Poisson括号的计算突然变得十分简单、方便起来，它的应用前景也突然变得宽广起来.

    当然，学习过程并不仅仅是解题过程，即使是思想十分开放的解题过程也还是远远不够的；所谓“学问”，就是有“学”也有“问”. 最好能有几个志同道合的“谈话对象”经常“切磋”、“交流”. “切磋”、“交流”也可以是很激烈的.（如N. Wiener在《控制论》一书的“导言”中所说的那样：“宣读者必须经受一通尖锐批评的夹击，批评是善意的然而毫不客气的. 这对于半通不通的思想，不充分的自我批评，过分的自信和妄自尊大是一济泻药，受不了的人下次不再来了. 但是，在这些会议的常客中，有不少人感到了这对于我们科学的进展是一个重要而经久的贡献.”）我在中国科学技术大学任教时，就曾有过几个“谈话对象”，例如汪秉宏、张之欧、陈银华、完（颜）绍龙、张鹏飞等人.

    孔夫子说：“学而时习之，不亦乐乎！”（《论语》第一篇/学而）

    若能认真解题，并能有所顿悟，则必然“下士闻道，大笑之；弗笑，不足以为道！”（《老子》第41章）

                                    沈惠川 谨识

                                    2008年5月10日于中国科学技术大学