张鹏飞：《量子力学习题解答与剖析》前言

    本书给出曾谨言先生所著《量子力学》(卷I、卷II，科学出版社，第四版) 的全部习题解答，各章内容均遵照该书顺序排列．这是我们在中国科学技术大学多年从事量子力学教学的过程中逐步编写而成的．

    二十多年来，曾谨言先生所著教材在国内量子力学教学中一直被广泛采用．尤其是《量子力学》(卷I、卷II)，体系完整，内容全面，条理清晰，叙述透彻，因而深受青年学生以及教师的欢迎．特别曾先生还根据量子力学的前沿进展、国内量子力学教学情况以及读者反映的信息，对该书作了多次修订，使得它不断完善．曾先生在该书的序言里说：“卷I适合于作为本科生学习量子力学的进一步深入的参考书，卷II则可作为研究生学习高等量子力学的主要参考书．青年物理学工作者在学完本书以后，可以比较顺利地进入与量子力学有关的各前沿领域的研究工作”．我们还认为卷I非常适合用于学时较多的本科量子力学课堂(如中国科大6学分120学时的量子力学)教学，卷II非常适合做高年级本科生或者研究生学习高等量子力学的教材．作为曾先生原著的学习辅导材料，本书可供大学生在初学量子力学时或者复习考研时参考之用，也可为研究生学习高等量子力学提供一定的帮助．

    本书融汇编者多年来量子力学教学的经验与体会，我们力求解答详尽，叙述清晰．此外类似我们在教学中所做的，编写过程中我们始终注意两点：(1)贴近学生．书主要是给学生用的，应当根据学生的特点，在内容组织、编排上多从利于学生学习的角度考虑；(2)知识与方法并重．注重启发，激发学生学习主动性．积极引导学生活学活用，引导学生思考以深入发掘物理内涵．

    量子力学习题，只要你用心揣摩，往往会发现有多种解法，即所谓解无定法，“不管白猫黑猫，能抓到老鼠的都是好猫”．本书中的很多习题正是有多种解法．一些题存在的多种解法，我们并不试图列出全部，而是尽量选取其中较有启发性的．若解法有繁有简，除少数特别巧妙的列出外，我们往往还有意给出较繁的解法，这样做主要是为了利于大多数同学学习．同学懂了以后，自己会给出他最简单的解法．

    本书最先的底稿是阮图南教授所做的部分习题的稿子，以及编者之一(张)多年来做曾先生所著教材里的习题而积累起来的几个笔记本．曾先生教材里的题目，不少都量子力学味道浓，或者具有一定科研背景．对部分这样的题目，我们几位编者曾以较大的兴趣做了一些讨论和思考．此外，在我们的教学过程中，学生与我们富有启发性的讨论以及我们与学生的交流，也促进了我们对一些问题的思考．这些讨论和思考，使我们或者是得到了一些新的解法，或者是对一些题的物理实质和内涵作了更多的剖析和发掘，在书中便以“解法二”、“解法三”等或者以“讨论”、“说明”等形式附上．个别题因为这种附加的内容较多，以至于题目的解答显得冗长且不太合乎标准．这些从一般解题要求来看并不必须，我们却认为恰恰是这些附加的内容对于启发学生的学习和思考是有益的，因而是本书的重要特色之一．还有若干题的巧妙解法(特别有一些解法，还是我们原先意想不到的)来源于历年选课同学的作业．

     此外，对于部分典型题的解答或相关背景材料，我们参考了国内外一些优秀的而且是我们非常欣赏的习题解答书或者教材的内容(这些著作的名称也在本书正文的注释或者参考文献里列出)，充分吸收其精华．其中有钱伯初教授与曾谨言教授所著“量子力学习题精选与剖析”一书，该书可能还有不足之处，但是总的看来，它内容丰富，叙述清晰，精到地演绎如何运用量子力学原理去分析处理各种具体问题，特别是对于部分习题所做深入细致的物理剖析，在细微处精彩展现了两位量子力学教学名师深湛的功底．该书是本书编写的重要参考书之一，我们在编写过程中从该书得到了很多启发，也学到了它的很多优点．

    本书可供学习量子力学或者高等量子力学参考用，主要目的是为了方便大家学习或者复习巩固．当然我们最不希望同学图这样的“方便”，只是简单地拿本书的习题解答来应付作业抄抄完事．我们愿意在此提醒各位同学，只有自己动手用心做一定数量的习题，才能把量子力学学到手[我们在《量子力学学习指导》一书的前言里写过一个量子力学学习的建议，该文在互联网上也可以找到，感兴趣的同学可以找来看．]．就如沈惠川教授在他的《经典力学题谱》一书的序言里所说“光说不练假把戏，光练不说傻把戏，又说又练才是真把戏”，也好比一个人学习游泳一定要下水一样．我们向手头有这本书的同学建议，当拿到一个习题时应当：(1) 自己先做，把它完成；(2) 如果自己反复思考都不得要领，那可以先查阅一下本书．边看边思考，想清楚解题要点后，合上书，仍是自己独立完成．习题做完以后，再翻开书看看，把自己做的与书中的解法做做比较，这样让你学得踏实，等等．我们希望本书给同学提供的不是思想的束缚，也不是拐杖，而是启发，是灵感．正如诗是做不完的一样，量子力学习题的解法往往层出不穷．我们期望，同学们在自己用心做一些题以后，会发现乐趣，同时会给出一些更好的解法．假若同学们发现了更多更好的解法，本书也就起到了抛砖引玉的作用，这正是我们最希望看到的．

    同学作习题可以针对自己的特点选择一些题来做．象本书习题较为丰富，有难有易，数学上也是有繁有简．每个同学特点不一样，有些同学数学很好，有些同学数学可能弱一点．我们觉得，数学稍弱的同学，不妨选一些数学较简然而物理味足的题来做．学习量子力学，不应让繁琐的数学演算成为学习和领会量子力学物理实质的障碍．数学是物理学的工具，数学演算决不是量子力学的全部．量子力学除了要用心学，学到脑子里，还要学到手上．通过做习题，就会了解如何运用所学知识，对它的领会也会更加深入．做习题决不仅仅是想明白怎么做，还要动手一步一步把它做出来．“想通了”跟“做出来”是两码事．思考可以跳跃，有时也许会出错．自己动手做的，你只要一步一步都不含糊，做完了一般都很有把握．所以，我们总是主张同学一定要自己动手做一些习题，哪怕你时间不多，因此只能做一部分．平常学习中，应在对所学知识作复习、总结的基础上，在相关原理和概念充分理解的基础上做题，这样就不会盲目．做题时，应当先看清题目，明白题目的全部条件和要求，再回忆学过的知识，多方面思考，不妨画画草图或者写写算式作辅助，寻找解题思路．想通了怎么解题以后，开始遵从逻辑的顺序，利用题目的条件，已知的概念、原理、事实，一步一步演绎，直到到达结论．

    题解完后，最好再检查题目解答是否完整，再琢磨琢磨题目有没有更妙的解法? 它能否运用到一些特例?它能否推广?条件能否减弱? 等等．不过这时，最重要的应该还不止于此，这时最重要的应该是试着进一步思考这个题的物理实质和内涵，思考它可能的更深的物理意义? 所谓“察物内之物，思理中之理”．学习本身是一个不断求真的过程．我们总是觉得，量子力学最妙的地方也许就在于它有很多值得“玩味”的地方，似是而非、似非而是容易糊涂的往往又是本质所在的地方很多，这些地方常需要较深入的思考才能真正理解和领会，所谓“浅尝难知其真味”．现在很多同学选一门课，他/她最关心的只是最后他/她这门课的成绩有多高，GPA是多少．可是我们真正觉得，就量子力学这门课的学习而言，光会做题能考高分甚至能拿100分也许还是不太够的．不少题有重要物理背景，量子力学味道浓，它的物理内涵、它深层的物理意义往往都值得“玩味”和“琢磨”．只有这种“玩味”、这种“琢磨”，才可能给你带来“顿悟”之喜，才可能把你导向对物理原理真实和深入的领会，才可能把你导向对量子力学精髓的真正领悟．

    曾谨言先生非常信任的让我们编写本书演绎他的著作，并且一直关心本书编写的进展情况．杨国桢院士曾在我校倡导加强量子力学教学．为此，中国科大本科教学从2004年秋季学期开始，增设6学分120学时的量子力学(量子力学A)．这一远见之举一定程度上也促进了本书的编写，因为它使我们在量子力学教学上投入了更多的时间和热情．王安民、尹民等教授给予了鼓励和帮助．沈惠川等教授则一直关心此书的编写，而且与编者之一(张) 平常富有启发的讨论也使得本书在很多方面得到了改进．张永德教授与编者之一(张) 有过多次交流，给了年轻人很多启发和教益．本书的编写还得到了其他许许多多老师的关心和帮助．对于所有这些，我们在此一并深致谢意．

    我们还特别感谢历年来我校选修我们量子力学课程的同学，感谢他们对量子力学的兴趣，感谢他们与我们富有启发性的讨论，感谢他们的各种意见．对历年来的助教王舸、葛红林、成斌、马小三、王安、刘键恒、邹冰、尹鹏程等人的工作也在此致以谢意．

    感谢尹甸、谷德阳等同学在L ATEX排版上提供的热情帮助．

    虽然我们希望做到最好并且也尽了力，但限于我们的水平，估计本书不当之处还是在所难免．对此，我们恳请广大读者谅解．我们诚挚欢迎读者通过下列联系方式
                   Email: zhpf@ustc.edu.cn, Tel: 0551-3600630
向我们提出宝贵的批评和建议．

编 者
2009年9月于合肥

张鹏飞：《量子力学习题解答与剖析》后记

   书稿总算写完了．2006年签的合同，本来是计划2007年上半年交稿，下半年出版的．竟拖延至今，这书稿拖的时间太长了，越是拖延，越感压力．现在总算完成了任务，心里也长长松了口气，想起本书的缘起，竟不由地百感交集．

    3年前由尹民教授牵线，我与当时来中国科大的科学出版社热情而敬业的昌盛编辑见了面，昌盛编辑说曾谨言先生正在对他的量子力学(卷I、卷II)进行修改，准备2007年出第四版，因此这时候他希望能够有一个全书的习题解答，并与曾先生的书第四版配套出版．那时候我跟随我的导师阮图南先生讲授量子力学已有好几个学期了，并与阮先生编写过一本《量子力学习题解答》讲义．曾先生卷I、卷II两大本的量子力学书中习题较多，但我在以往的学习以及教学中已把这些题的大部分都解过的(积累起来的几个笔记本都还在)，所以我当时认为若与阮先生一起做一定可以把这件事做得很好的．我说我会跟阮先生商量的，昌盛编辑说由他负责征求曾谨言先生的意见．

    过了一些日子，安徽大学徐辅新教授在一次会上见到了曾谨言先生，曾先生已知道了科学出版社要出这样一个习题解答的计划．曾先生说，虽然量子力学已有较多的学习指导、习题解的书，但是量子力学(卷I、卷II)全部习题的解答还没有人出过，这样一本书值得出．曾先生请徐辅新教授转告阮图南老师，写这本书只要有阮老师参加，他就很放心．

    昌盛编辑又一次来科大的时候，阮先生与我和他会了面．记得那次就在我的办公室，阮先生与昌盛编辑这一对老少校友先是谈起了北大的一些事情，立刻就聊得非常投机．昌盛编辑说他已问过曾谨言先生，而他所说的曾先生意见与先前徐辅新教授所说的一样，就是本书值得出版，而且只要有阮图南老师参加，他就很放心．阮先生与曾谨言先生是老朋友，阮先生说，这是曾谨言先生的信任，要写就一定要写好．

    我与阮先生很快就投入撰写．先前我已把曾先生卷I、卷II两大本的量子力学书中习题的大部分都解过，但其实其中相当一部分都做得较为粗糙．我曾从大物理学家E. Fermi的传记(由他的学生E. Segr`e所写，当时中国科大图书馆只有唯一的一本英文原版的书，后来国内又出过中译本)中看到，Fermi给一些难题的解答通常只有一行文字．受此“影响”，有一阵子，我解一些题也就有些偷懒，解答常常只写我认为是最关键的很少的几步．而有一次当我看到阮先生亲手做的量子力学习题时，又曾受到大的触动．阮先生曾做过曾先生的《量子力学导论》的前面几章的习题，在我与阮先生等人合作编写的《量子力学学习指导》(2008年5月出版)一书的后记里如下写道：

    · · · · · ·
    先生要我重视这门课的教学，他自己正是这么做的．先生的量子力学讲稿每讲一轮都会重写．他的讲稿，看起来很随便，有些用的都是发黄的稿纸、一些会议材料的背面或者用过的复印纸背面．他一张一张地写，写了一摞，便拿个夹子一夹或者用订书机一订．这一摞一摞讲稿里面，每页纸上每个字、每个符号、每个公式都写得工工整整、稳稳当当、一丝不苟，显得那么自信与正确．我有事到先生家去，要碰上他正备课的时候，他便常让我在桌子对面先坐一会儿，他却仍对着他的讲稿凝思，等他一个式子写完，才来招呼我．先生可能是除了体育以外，没有其他业余爱好的，平常一有空就是做演算，写讲稿．他到外地去，也带着讲稿，一有空就开始写或者演算．我想正是他课堂以外下的功夫，使得他上课可以基本不看讲稿，在讲台前一黑板一黑板地写．

    先生说要求学生做的，自己要先做到．那次他问我，教科书上的习题做没做? 我说，我以前读本科上这门课的时候，把那时用的曾谨言先生编的教材上的习题全做过了．只不过现在用的教材，是曾先生后来编的，可能有一些新题．先生说，以前做过的，现在也应该做一些，特别是新题，一定要做．只有做了，才有把握让学生做．而我因为各种原因，他讲过以后有一段时间都还并没有真正花多少时间做题．过了一些天，先生拿给我几摞稿子，‘喏，这是我做的．’他要我整理一个教材的全部习题解答，他做了面一部分，但后面部分他那个学期不一定有那么多时间做了，他想我能不能完成．他还告诉我，前3章已经请助教录到电脑里了，要我核对一下．我拿起这几摞稿子，翻了翻，虽说已跟随先生多年，还是觉得很惊异．因为，我原先也曾做过几次助教，印象里习题一般都是助教的事，主讲老师一般都是不太管的，而先生现在却已做了这几本厚厚的稿子．这也实在让我心下惭愧，因为先生曾要求我做的，我却并没有怎么做．细细看来，这一题一题，按照次序写下来，一题不拉；每道题一步一步，老老实实的，不厌其烦，一步都不跳，一点都不省略．而其中每个字、每个符号，也都是秉承他一贯的风格：工工整整、一丝不苟．而这是一位年迈的教授亲手做的呀，这又让我很惭愧．我本来认为已把整本教材的习题基本全做了，没有太大的必要再做了，可那时才知道我做的那些东西在质量方面跟先生做的实在无法相比．”

    阮先生那时拿给我的由他亲手做的这几摞习题的稿子，对于我真正起了鞭策作用．在撰写本书过程中，我就再也不敢偷懒，而是尽量按照先生的风格去写．那一阵子，我与先生每隔两、三天就碰面，也经常讨论本书撰写的事．他由于要开一门新课，所以他解的题就少一些，但他经常看我写的稿子，一步一步看，并时不时提出意见．偶尔碰上难题，我给卡住了，就跟先生说．多半是第二天，或者过几天，先生就会与平常为我解答科研上的一些难题一样拿给我这道题的详细解答，工工整整地写在纸上，我只要录到电脑里即可．我也把一些题的解答与一些流行的量子力学习题解答的书比较，发现跟这些书不一致的地方，我就很着急．先生说，不同的人解一样的题，有不一样的地方很正常，但涉及到谁对谁错的地方要特别小心．他让我再检查检查，他也会检查和演算一遍，先看看是不是自己搞错了．如果确实是人家错，还要看看人家错在哪里，为什么错，他会鼓励我不要怕，就按我们认为正确的写．正如平常阮先生言传身教不断让我们体会到的：做学问不要认权威，应该认真理．我还相信，如果是我跟曾先生讨论这种问题，他也会给我一样的体会的，曾先生在他的书中写道“吾爱吾师，吾尤爱真理”．

    因为有阮先生作后盾，那时候我们的书稿撰写非常顺利．然而因为一场急性病，先生在2007年春天学期开学的第一天住进了医院并在两个月后就去世了．记得阮先生住院期间，他还谈起过本书的事，而我也曾问过他问题．阮先生的去世意味着先前我们之间的顺利合作不得不中止了，书稿也因此被搁置起来，很长一段时间没有动笔．直到贾杨编辑催稿，我想此书实际上大部分工作都完成了，再怎么样也应当设法完成．编辑同意本书交稿时间推迟，于是在朱栋培、吴强两位教授的直接帮助下，我又开始着手编写．那段时间也得到了很多老师的鼓励和帮助．但也许是因为少了与阮先生的讨论，少了阮先生的督促，书稿撰写变得迟缓了许多，交稿时间也一推再推．因为贾杨编辑要负责别的书，此书后来又改由窦京涛编辑具体负责，昌盛编辑也非常关心本书．

    在一次会上，我又碰到了安徽大学徐辅新教授．徐老师特地拉我在一旁说话，他问我书写得怎么样了？徐老师说，曾谨言先生一直关心本书的编写．在阮先生去世以后，徐老师已告诉曾先生，此书主要由阮先生的一个学生在写．后来，徐老师每次与曾先生见面或者通电话时曾先生都要问起此书，最近一次曾先生问起来还说他愿意提供帮助，如果出版时碰到问题，他可以跟出版社说．

    我二十年前做学生时初学量子力学读曾先生的书，后来随阮图南先生讲授量子力学直到现在自己独立讲授量子力学又一直是用曾先生书．我还因为在中国科大讲过几种类型的量子力学课堂，所以曾先生的各种量子力学教材全用过，此外也读过他编写的其他量子力学著作．我读曾先生书，用曾先生书，对曾先生满怀敬仰，可是始终没能与曾先生有过面对面认识的机会．记得我曾经听过曾先生的报告，报告会后带着问题挤在后面想去问曾先生，可是也没轮到我问．我这次因为阮先生的关系，得以有机会编写曾先生名著的学习辅导书，已殊感荣幸，现在又得到曾先生如此关心，真是十分感动．

    书完稿了，它主要是阮先生等老师与我合作的产物，也得到了曾谨言先生等多位老师的关心或者帮助．“如临深渊，如履薄冰”，这段时间里我满怀虔敬、小心翼翼地做着本书的编写工作，衷心希望它正式出版以后能够如阮先生所说的“让学生看了受益，让读者满意”，不辜负各位热心人的期待．

张鹏飞
2009年9月9日