《统计力学题谱》序

      做题不仅仅是为了解答疑问，而且更是为了获取知识. 将一道道例题和习题中的知识点串连起来，就可窥见整个学问的全豹（例如S. Flügge的《实用量子力学》和久保亮五（R. Kubo）的《热力学：包括习题和解答的高级课程》、《统计力学：包括习题和解答的高级课程》等书，虽然是一本本习题集，但同时又是一本本教科书.）. 有时候从一道习题的已知条件和最后解答联想开来，又可开发出一个新的研究领域（例如Mayer夫妇的《统计力学》一书中关于 积分（低温展开式）的计算就来自对一个小问题的认真探讨）.

      路就在脚下，课题就在手中.

      小处见大，于无声处听惊雷.

      道理其实很简单. 如果考证一下一道道例题和习题尤其是最基本的例题和习题的来源，就可以发现它们要么就是当初物理学家研究问题时所作的计算之片段，要么就是当初对这些“计算之片段”的结果所作的推演；这些最基本的例题和习题实际上就是最初的论文之底稿. 当然，在研究问题之前，要对整个问题的物理方面和哲学、逻辑方面进行全面的检讨和思考；数学模型和计算过程只是这种“检讨和思考”的继续和具体化.

      对一些初建的、尚不成熟的物理学科来说，更是如此.

      所以对这些学科来说，一道道例题和习题尤其是最基本的例题和习题实际上是整个学科的投影.

      以后发展起来的“成百上千”的例题和习题，慢慢脱离了最初的理论研究，而变成了具体应用进而变成“练题”、“练脑”.

      由解题来探索或深入探索，对于研究统计力学来说是再合适不过的. 美籍华裔物理学家马上庚（S.-K. Ma）先生在其名著《统计力学》（中文版：环华出版事业公司，台北，1982；英文版：World Scientific Pub Co Pte Ltd.，Singapore，1985）一书的“序”中说过：“习题是内容中重要的一部分. 不做习题，则不但应用技术学不到，基本观念也不会学到.”

      统计力学以巨量的粒子系统作为研究对象，不同的专家学者以不同的视角所撰写的不同风格的统计力学教本也同样巨量（例如，华裔统计力学家所撰写的名著除了马上庚的外，就还有吴大猷的，王竹溪的，黄克逊的，李政道的，田长霖的等等），而研究统计力学本身这门学问则应以计算巨量的习题为手段.

      统计，在巨量中发现一般.

      统计力学中有三种理论，三种分布，三种系综. 三种理论是Maxwell最可几理论，Darwin-Fowler平均值理论和Gibbs系综理论. 三种分布是经典的Maxwell-Boltzmann分布，量子的Bose分布和Fermi分布. 三种系综是微正则系综，正则系综和巨正则系综. 经排列组合，似乎共有十五类统计力学. Maxwell最可几理论和Darwin-Fowler平均值理论相当于流体力学中的Lagrange描述，它们之间的区别只是方法不同而已；这两大种统计力学是被将淘汰和现已被多数人弃置不用的理论（实际上Darwin-Fowler平均值理论的统计力学现在已经被淘汰和弃置不用），因而只有物理史上的纪念意义，与流体力学中的Lagrange描述或塑性力学中的形变理论将逐渐被人遗忘一样. 在三种系综中，微正则系综只适用于孤立系而与温度无关，物理意义不是太大，应用上不是太普遍也不方便，通常仅出现在教科书和题谱中；而且，由于微正则系综的配分函数 （实际上 就是状态数密度）和正则系综的配分函数 以Laplace变换公式 相联系，因而对微正则系综可以少放在心上一些. 经过如此篩选，剩下三种分布及正则和巨正则两种系综共六类统计力学是人们所关心的. 又由于正则系综的配分函数 和巨正则系综的配分函数 以公式 相联系（式中 为易逸度），因而读者实际上只要牢记正则系综的三类统计力学即可. 马上庚认为，统计力学的运算规则“可以说是Boltzmann的求熵公式，或可以说是某形象发生概率和 成正比”，此言说的正是正则系综，可谓说到了点子上.

      分中有合，万变不离其宗.

      统计力学中的统计方法是一个值得注意的课题. 所谓统计方法，无非是“统计权重”，“状态数”或“状态数密度”这些统计学概念在物理学中的运用；在统计权重中，物理上还有“简并度”的概念.（有些统计力学书中，将“简并度”归于“状态数”或“状态数密度”之中.）所谓“统计学概念在物理学中的运用”，就是将经典力学或量子力学的某些结果引入统计学（具体来说是引入“统计权重”，“状态数”或“状态数密度”中）. 将这些东西搞熟了，统计力学也就不难了. 所以李政道教授说：“我认为统计力学是理论物理中最完美的科目之一，因为它的基本假设是简单的，但它的应用却十分广泛.”

      在热力学中，熵 和温度 是两个十分重要的物理量. 热力学第二定律就是“熵定律”. 在统计力学中，也有一个十分重要的物理量，那就是分布函数（或“系综数密度”）. Liouville方程和Boltzmann方程就是专门用来研究分布函数的，目的是将分布函数与熵 联系起来.

      根据统计力学中的统计方法，要计算粒子数 广义力 和内能 ，只要利用分布函数便可. 但仅有粒子数 广义力 和内能 ，尚不能构成统计力学，因为有许多其他的热力学量还无法得到. 只有在定义了熵 的计算规则后，才能完成统计力学对热力学量的统计要求. 于是，著名的Boltzmann的“熵公式”应运而生. 从这一意义上来说，没有Boltzmann“熵公式”就没有统计（热）力学.

      平衡态Maxwell-Boltzmann统计属于“Lagrange描述”的统计力学“系统理论”（或被称为“近独立子系统理论”）. 同样属于“Lagrange描述”的统计力学“系统理论”的还有Darwin-Fowler统计. 前者是易于计算（利用“排列组合”）的“最可几理论”，而后者是不易计算（利用“复变函数”）的“平均值理论”.

      “Lagrange描述”的统计力学“系统理论”有一种奢望，就是企图藉此来得到有关分子或原子的内部结构的知识. 实践证明这不仅是不可能的，而且正是这种奢望限制了统计力学作为一种普遍研究手段的应用范围，使得这样的“系统理论”只能用来对理想气体进行统计计算而无法进行拓展. 同时，这种“奢望”在统计力学的逻辑一致性方面也不够严谨.

      本书第A章中的例题实际上都可以用“Euler描述”的统计力学“系综理论”来求解（参阅【例2.11】至【例2.14】），保留这些例题的目的是为了作一比较，以便让读者明白统计力学“系统理论”与统计力学“系综理论”在处理同一问题时的不同操作手法.

      “系综”是一个出于“系统”而胜于“系统”的物理学概念. “系综”并非如某些教科书所说的仅仅是“一种数学抽象”、仅仅是“大量物理状态相同的系统的集合”，而是有其“物理实在”对应的“真实”. 与流体动力学相仿，“系统”相当于流体中的“小单元”，而“系综”则相当于流体中的“控制区域”；在下一个时刻“控制区域”中的“小单元”，并不是上一个时刻“控制区域”中的“小单元”；不管是在“不稳定流”中还是在“稳定流”中都一样，只不过在“稳定流”中的平衡属于“动平衡”而已. 正是由于这一比喻，因而“系综理论”的统计力学就与流体动力学之间存在着千丝万缕的联系，并且可以用流体动力学来理解“系综理论”的统计力学；也正是由于这一比喻，使得“系综”与“系统”之间的关系犹如公孙龙的“马”与“白马”之间的关系. “系综”既是“系统”的哲学抽象，又是客观存在的物理具体.

      正确的、有光辉前景的统计力学，必然是“系综理论”的.

      多看例题、多做习题并举一反三，就可以逐渐弄明白为何“Euler描述”的统计力学才是正确的和逻辑一致的. 在一些涉及数学计算的小问题（例如何时可用“求和”、何时可用“积分”，例如“显关联”相互作用能否简化、略去）上，就可以看出“Lagrange描述”的统计力学远远不及“Euler描述”的统计力学，亦即，Maxwell-Boltzmann的统计力学（还有Darwin-Fowler的统计力学）远远不及Gibbs的统计力学.

      于是，在做题的过程中，不仅仅需要方法莫道不消魂论，还需要有一点点世界观.

      不仅仅需要数学，还需要一点点哲学.

      在统计力学的系综理论中，最主要的目标就是计算物理问题的“配分函数”. “配分函数”是各种热力学量的“生成函数”，它在统计力学中的地位犹如“波函数”在量子力学中的地位. 经典统计力学（研究“理想气体”的）中最一般的“配分函数”有两个，其一是表2.7中（第4行）所谓“一般气体”（能量－动量关系为 ）的“配分函数”，其二是表2.7中（第3行）所谓“相对论气体”（能量－动量关系为 ）的“配分函数”. 由于能量－动量关系为 的“相对论气体”较少出现而且计算复杂，因而实际上需要记住的只有“一般气体”的配分函数一个；其他类型的配分函数（除了能量－动量关系为 的“相对论气体”外）都是它的特例.

      统计力学千头万绪，归根到底只有一句话：求“配分函数”！

      原则上说，只要知道了“一般气体”的“配分函数”，则各类理想气体（相对论的或非相对论的，3维的或非3维的）的热力学量都可以被求得，其中一些简单的热力学“内能”更可以通过“一般气体”的“能量均分原理”得到. 由“配分函数”求热力学量，在统计力学中是最起码的基本功，前提是必须对热力学知识有足够充分的掌握.

      热力学知识尽管枯燥乏味，但却必不可少.

      所有的统计力学，最后都要落实到热力学上去.

      关于量子（分立）系统的“配分函数”的计算，由于只能使用“求和”而不是“积分”（“Laplace变换”），因而其算法没有一般的规律可循，要视具体问题而定；中间存在许多“物理陷阱”，要仔细识别. 物理概念是否清晰，就在这里了.

      量子（分立）系统的状况，似乎部分回到了平衡态Maxwell-Boltzmann统计的“Lagrange描述”.

      在“巨正则系综”中，能够应用于实际问题的只有“Bose巨配分函数的对数”和“Fermi巨配分函数的对数”两种. “Bose巨配分函数的对数”的成功应用是“固体”（Debye“声子”）和“光子气体”，“Fermi巨配分函数的对数”的成功应用是“电子”. “Bose巨配分函数的对数”在“光子气体”中的应用是最为出彩的，由它所得到的“Stefan-Boltzmann公式”不仅验证了实验结果，而且证实了“狭义相对论”是完全正确的！

      然而一般来说，“Bose巨配分函数的对数”和“Fermi巨配分函数的对数”的计算都十分复杂，有时候只能作级数展开并进行近似处理；“Fermi巨配分函数的对数”的低温近似之所以引出了如此之多的习题，就因为其“阶跃函数”的简单形式计算起来很方便，而其统计计算甚至比“Boltzmann统计”都更简易. “Bose巨配分函数的对数”和“Fermi巨配分函数的对数”的一般性推演及其在热力学量中的计算，见【例3.9】.

      在Bose统计和Fermi统计的计算过程中,可以利用“等比级数”级数的求和公式；在“求和号”下，仍旧是“Boltzmann统计”.

      关于“非理想气体”，其“配分函数”实际上是理想气体的“配分函数”与所谓“位形积分”（即对应于“显关联”相互作用势能的“配分函数”）的乘积. 一般来说，由于“显关联”相互作用势能的复杂性，使得“位形积分”的计算十分困难（除了个别例外）. Mayer夫妇的“集团展开”方法就是为了计算“位形积分”而发展起来的. 由于“位形积分”的计算十分困难，因而相配套的习题也不多. 关键是掌握其求解思路.

      关于统计力学中尤其是平衡态统计力学中的例题和习题的分类，与每位作者的物理学立场有关. 对于强调平衡态Maxwell-Boltzmann统计的作者来说，在这一主题下可以组织到一大批例题和习题；而对于强调平衡态Gibbs统计的作者来说，以上这一大批例题和习题完全可以纳入Gibbs“系综理论”，只是解题的出发点有所不同而已. 对前者来说，平衡态Maxwell-Boltzmann统计的例题和习题可以很多，但对后者来说，平衡态Maxwell-Boltzmann统计的例题和习题可以降至最少.

      本书强调平衡态Gibbs统计，取后一立场.

      这种“分类与立场有关”的事情，大概只有统计力学中（也许还有塑性力学中）才有.

      本书中其他几章的例题和习题都比较少，具体的有关内容在每一章的“题外话”中都有介绍. “例题和习题都比较少”这一事实，说明了这些课题都还处在发展和不够完善的阶段，或者其中的计算过于复杂.

      物理学教科书中，越是初级的、越是成熟的学科，例题和习题就越是多；越是高级的、越是前沿的学科，例题和习题就越是少. 普通物理力学和电磁学中的例题和习题以“千”计（例如有一本书的书名就叫《电磁学千题解》），量子场论和量子统计中的例题和习题不足“百”道. 普通物理热学中的例题和习题，不算数值计算的，就有几百道够你折腾；而热力学中的例题和习题，再多找出一道都难（每一道都有可能是一条定理）！

      即使在本《题谱》中，成熟的“平衡态统计力学”方面的例题和习题就比较多，而不太成熟的“非平衡态统计力学”方面的例题和习题就比较少；即使在“平衡态统计力学”方面，各种“理想气体”的例题和习题就比较多，而“非理想气体”的例题和习题就比较少.

      山至颠成尖，物以稀为贵.

      学生做题，多多益善也许并不可取，没有必要也无可能，除非你将来准备出书或打算教书. 雷同的习题，挑一两道做做即可，尝尝味道（当然不是“浅尝辄止”）. 前提是必须治学要严，学艺要精. 对已经融会贯通的同学来说，做题只不过是牛刀小试，是看看自己的身手如何矫健. 对决心笨鸟先飞的同学来说，想必每道例题和习题，都有它本身的机关窍门，若不进去走走，焉得虎子？

      在自习室做题，总比去电脑房打游戏强.

      搞些真刀 ** 的工作，总比夸夸其谈好.

      本书的作者曾经是、现在也仍然是学生.

      我们都是Gibbs，Uhlenbeck，Fowler这些大师们的学生的学生.

      本《题谱》有两大特色：一是每道题末的“点题”，二是每章末的“题外题”.

      “点题”，主要是对每一道习题的评论，从中引出的其他结果，间或还有一般性的介绍.

      “题外题”，主要是对《统计力学》一书中未涉及的问题的讨论.这些问题，对往后的学习和研究或许是有用的；有些则是对以往知识的重点提示.

      本《题谱》是与《统计力学》一书配套的.因此大部分“例题”以“例题萃要”的形式进行罗列.绝大多数“例题”都是《统计力学》一书中的重要结论和应用示范.

      本《题谱》中“例题萃要”和“习题解答”的编号与《统计力学》一书完全相同，一一对应；但《统计力学》一书中的“附录A”对应于本《题谱》的“第A章”，相应的“例题萃要”编号未变.

      本《题谱》中另有“附录1 Darwin-Fowler统计习题解答”和“附录2热力学习题解答”；两个附录中均无“题外话”和“点题”.在第二个附录的开头本来有一大段“热力学内容简介”，它与另外一大段“流体动力学内容简介”原先都附录于《统计力学》一书；由于篇幅所限，这两段都舍去了，仅留下“热力学习题解答”. “热力学习题解答”中有不少习题是在其他各种习题集中找不到的.

      符号问题，是撰写每一本科技图书所面临的共同问题. 在照顾习惯用法的同时，应尽量使每一种符号在同一本书中不重复. 在一道题中不使用同一种符号表示不同的物理量，还比较容易做到；在一本书中要做到这一条就比较困难了. 统计力学涉及的学科门类较多，避免符号重复的问题必须在一开始就规划好.

      在本《题谱》正文中，压强用大写的 （为了避免与广义动量 混淆），内能用 表示；但是在“附录2热力学习题解答”中，压强用小写的 ，内能用大写的 （mol内能用小写的 ）表示. 其他物理量也尽量避免重复使用（例如Hamiltonian用 表示，以避免与焓相混淆）.

      本书绝大多数题解以及全部“点题”由沈惠川教授完成和撰写.

      部分题解和计算机输入由沈励先生完成.

      是为序.

                             沈惠川  沈励

                             于 中国科学技术大学

                              2011年元旦

    《统计力学》及其《题谱》的撰写终于进入尾声. 在本《题谱》行将完稿之际，回顾一下自己的学术经历和缅怀一下必须深谢的师长是完全应该、十分必要的.

    早期统计力学中有一个著名的“遍历性原理”（又译为“各态历经原理”）；我本人在统计力学领域的学术经历（从感兴趣到进入研究）也同样是“遍历”的. 如果从求解流体动力学中的Navier-Stokes方程开始算起，已有不少年头了；即使从讨论气体运动论中的Boltzmann方程开始算起，时间也算够长的了. 然而，由于Navier-Stokes方程和Boltzmann方程都十分复杂，因而我从前在这两个方面基本上都无大建树. 当然，尽管如此，毕竟积累了知识，初探了幽径；至于研究中的思考，计算中的艰辛，修改时的自以为是，发表后的遗憾反省，不说也罢. 凡是做过研究工作的人，大多数都能意会. 真正一步到位、一鸣惊人的文章，其实很少；都有一个由必然王国走向自由王国的过程.

    除了书本上的知识之外，对我在统计力学方面产生兴趣和深入探讨有所影响的人物，有中国科学技术大学的一些同事（例如汪秉宏教授、郑久仁教授等，还有早前就已离开科大的张之欧老师），但主要是王福山先生和吴大猷先生.

    吴大猷先生是李政道和杨振宁的老师；在我与他通信的当时，他还是台湾“中研院”的院长. 吴大猷先生关于热力学和统计力学的言帘卷西风论现在已收录在吴大猷著（金吾伦、胡新和译）《物理学的历史和哲学》（中国大百科全书出版社，北京，1997）和《吴大猷科学哲学文集》（社会科学文献出版社，北京，1996）两本书中，其中第二本书中有6篇文章是有关热力学和统计力学的. 吴大猷先生的《热力学、气体运动论及统计力学》（联经出版事业公司，台北，1979；科学出版社，北京，1983、2010）一书和他的《古典动力学》（联经出版事业公司，台北，1977；科学出版社，北京，1983、2010）是我最钟爱的书中的两本；我曾写信告诉他，我最喜欢他的这两本书. 吴大猷先生在通信中关于热力学和统计力学的教诲在我的《统计力学》一书的代序中已经提到，这里不再详谈.

    我在此处要补记一下王福山先生与我之间有关热力学和统计力学的通信内容，作为我对王老师的追思.

    王福山先生是复旦大学物理系前主任；在我结识、拜见他时，他已经退休在家. 他是我所认识的老一辈科学家中最为平易近人的一位. 在没有结识吴大猷先生之前，他与我就已是忘年之交. 王老师与我之间的通信是从讨论他的译作《一个非政治家的政治生活：回忆维尔纳·海森伯》（伊丽莎白·海森伯Elisabeth Heisenberg著，复旦大学出版社，上海，1987）开始的. 他给我的最后一封信是随他为专刊《Werner Heisenberg in Leipizig，1927-1942》所写文章的抽印本同时寄来的. 我们之间最经常的话题就是Heisenberg. 有关Heisenberg话题的大部分内容，已收入拙作“王福山先生谈海森伯”（物理，1995，24（2）；（5））一文. 除此之外，我们还评论其他物理学家和讨论当时热门的物理学问题. 王老师有时还回忆他1929年至1940年间在德国的留学生涯（他的记忆力至老不衰）.

    我与他之间关于L Boltzmann和P Ehrenfest之死因新说的讨论，是由1990年第13卷第2期《自然杂志》上署名为葛墨林，李新洲和关洪的文章“玻耳兹曼晚年考”引起的. 我开始仅记得葛，李两位的姓名（我早就与葛在其访问科大时相识，李也曾来过科大），后来才记住关洪的姓名. 在1990年4月的长沙“全国量子理论基础问题暨玻姆学术思想研讨会”上，我巧遇关洪先生，此时方知“玻耳兹曼晚年考”是由李新洲先生提供素材而由关洪先生执笔的. 在“玻耳兹曼晚年考”一文中，他没有将Boltzmann的死因讲得十分明白，但私下他认为Boltzmann的死因是“同性恋”. 对此结论，我至今表示怀疑. 我想起在意大利Triest ICTP期间曾看到一本《玻尔兹曼传》，但我记不清书中是如何说的了.（亦可参阅近年Cario Cercignani的《Ludwig Boltzmann： The Man Who Trusted Atoms》，Oxford University Press，1998；中文版，《玻尔兹曼：笃信原子的人》，上海科学技术出版社，2002）在长沙会议之前，我就此问题请教过王老师，王老师是这么说的：

    “葛墨林，李新洲等三人在《自然杂志》上的文章，我未看到过.（事实上我近年来一直很闭塞！）不过他们要写这篇文章我是知道的. 事情是这样：大概在1985年我们为《近代物理学研究》第二辑快定稿的时候，我同金尚年在理论物理教研组商谈中，李新洲在旁听见了（金尚年书桌旁边就是李新洲的书桌）. 那时他大概刚从意大利回来不久，说起在意大利他们去过玻耳兹曼疯了自杀的地方. 我请他快点写一篇观感文章收入. 他写了. 我看后希望他为完整起见在某些方面再增加一些内容，以符合刊登要求. 他说这要与兰大葛墨林一起来写了. 这样就拖了下来. 我们在收集第三辑稿子的时候，他们交来与否，我已记不清. 反正后来这些稿子退还了原作者（因为我前已说过，复旦出版社不愿意再赔本）. 现在载于《自然杂志》上的你说由三人合写，不知还有一位是谁？以前未闻李说过. 实际上，这确实是很好的物理学史料. 你准备以后托人把ICTP图书馆的玻耳兹曼传记复印一本，恰是值得. 玻耳兹曼的两本《分子运动论》，我以前在德国作为经典著作（旧书）买下了，但未翻阅过.”

    在后一封信中，王老师接着说：

    “《自然杂志》上关于玻耳兹曼文章的另一位作者你说是关洪同志，四年前（1986年）他来过复旦我也认识. 这个调查说是受杨振宁委托，是可能的，因为杨对物理学史很感兴趣，并且也很重视. 但李新洲那时没有提到这点······关于玻耳兹曼的自杀，你说他们三人只是从其学生厄伦菲斯特是自杀故而断言玻耳兹曼的自杀也可能是非学术的；我记得那年请李新洲写访问玻耳兹曼自杀地之游时，似乎当时大家认为可能由于玻耳兹曼提出分子运动论遭到人们大力反对，后来发了疯以至于最终自杀. 当然这个说法需要好好考证一下才对. 不知你说的那本玻耳兹曼传记里是否可查？但是关于厄伦菲斯特的自杀，他们认为是三角恋爱这一点，我倒有个可能比较可靠的说法：我在哥廷根读书的时候，有两个我们经常在一起的学数学的同学，一位是蒋硕民（现在北京师范大学），另一位是程毓淮（现在美国马萨诸塞大学Amhert分校），他们都是柯朗（R Courant）的学生. 有一天，不知是1930年或1932年（这两年中间我在南德黑林地区一个疗养院里因病住了一年半），他们一同来到我住处. 蒋对我说，厄伦菲斯特自杀了；事情是这样：他的儿子患了一种不治之病，躺在医院里；他经常去看病，看到他非常痛苦，心里很难过. 有一天厄伦菲斯特带着手莫道不消魂枪去医院把儿子打死了，免得他继续受苦. 他自己也就当场用手莫道不消魂枪结束了生命. 我觉得这是比较可靠的，因为蒋和程不是读物理的；这消息他们一定从报纸或杂志上得来的，而程是订了柏林的一种日报的. 这件事在我的印象里很深，至今未忘. 那次我们议论玻耳兹曼的自杀时，我把这情况告诉过金尚年，李新洲等. 但是，现在要找到可靠的记载才能完全确定. （我当时是否问过蒋和程消息何来，已记不起来.）我建议，先查出厄伦菲斯特哪年死. 如果记载中没有其死的原因，可以再查一下那年份的《物理学记事》或《物理学杂志》两种德文物理杂志. 一般而论，它们总是把稍有名的物理学家的死讯及半身像及时刊登出来的. 复旦有这两种杂志（齐全的，1952年从浙江大学调来的）. 可惜我那时已不住在学校，每星期去一天或两天，没时间去查，后来根本忘了. 如果查不到，则还有美国的《科学家生平辞典》以及各种百科全书（德国的有《Brockhans》和《Mayer-Lexikon》两种）可查阅. 只是猜猜而猜到三角恋爱上去，我认为不好.（我以前在德国似乎听到过说厄伦菲斯特的太太也是搞统计物理的.）同样玻耳兹曼的死因最好也弄个清楚.”

    这件事很奇怪，的确在许多科学家传记（例如M J Klein的《保尔·厄任费斯脱：20世纪初著名的理论物理学家的成长历程》，清华大学出版社，北京，1999）中都没有Ehrenfest的死因介绍！但是，关于Ehrenfest的讣告倒是刊登在1933年9月26日的“Leids Daglad”报上. 王老师记得基本上没错！

    我有一次对王老师说，我对I Prigogine的大多数观点都同意，但就是不能同意他说的“其它物理学分支的基础方程都是可逆的而只有耗散结构理论中所讨论的基础方程才是不可逆的”这种说法. 我说，Newton方程或Schrödinger方程中的势函数若不仅是位形的函数而同时又是速度或动量的函数时，就表现出不可逆性. 在广义相对论的Einstein场方程中也是如此；即使不考虑含有黏滞项的能量动量张量，若原时间隔中含有时间-空间交叉项，则同样表现出不可逆性. 王老师听了我的话之后说：

    “你对普里高津的观点大多同意，就是不同意他说只有富里叶（J B Fourier）方程才是不可逆的，继而你说明牛顿方程，薛定谔方程等等在特定条件下也是不可逆的. 我认为很有道理. 不过我在想，普里高津为什么没有想到这点上来？或者他的断言出于另一种原因，比如说最简单的；他只是就牛顿等方程的原来意义而言. 这问题我未涉及过，所以不敢多说.”

    在阎康年先生的《热力学史》出版前，我曾向王老师打听过热力学原始论文，因为我看到过一套由日本人编纂的热力学原始论文集. 王老师说：

    “热力学原始论文，我们以前是想出书. 后来可能销路问题只是按照当时已有的所刻蜡纸油印了一些，一套有几本·······这些原始文章主要是复旦理科大批判组时化学组胡家璁同志收集起来并翻译的. 我记得有热力学第一和第二定律方面的，其中如亥姆霍茨（H L F von Helmholtz）的Kraft（力，即能量），梅耶(J R von Mayer)在船上做医生时对人体血液变化的观察，克劳胥斯（R E Clausius）关于熵的几篇文章（凡德文的原始文章我都参与过校和译）. 卡诺（S Carnot）的文章因弄不到德文原文而从英译本译的. 此外当然还有汤姆逊（W Thomson）的文章. 胡家璁确实为此花了许多时间. 四人帮打人比黄花瘦倒后，理科大批判组解散，而这些资料（已刻成蜡纸）全由胡保管着. 后来我们把它们油印并装订成册，知道的就来买了.”

    阎康年先生的《热力学史》出版后，曾寄了一本给我. 由于剩书不多，他没有寄给王老师. 我曾去信问过阎康年先生他的资料来源，阎先生说他确曾参考过胡家璁的油印本.

    王老师的以上言帘卷西风论曾载于我的一篇短文“回忆Heisenberg的学生王福山教授：王福山先生言帘卷西风论钩沉”（未正式发表）中.

    除了热力学史和统计力学发展史的有关话题外，王老师还与我讨论过热力学和统计力学的学科内容；例如对徐业林的小书《从单一室温环境获得能量的实验与研究》（科学出版社，北京，1988）及其实验，对傅信镛的文章《实现麦克斯韦设想的探讨》（上海交通大学学报，增刊，1979，6）及其实验，我们都进行过认真的研究. 1991年，王老师曾建议我凭一篇研究Boltzmann方程的论文去参加全国统计物理学年会，并寄来一本由复旦大学苏汝铿教授编著的《统计物理学》教科书.

    王老师当时就认为我可以凭我对系综理论和统计力学中的数学处理的理解和认识撰写一本新的统计力学教科书；他那时最鼓舞我的一句话就是：“这件事只有你能完成！”他的这句话现在成了我撰写《统计力学》及其《题谱》的原动力.

    老师的给力、“给理”是无穷的！老师的一句话，有可能改变学生将来的的下半辈子. 在此时此刻，我十分怀念当年与王福山先生、吴大猷先生之间无拘无束的讨论场景.

    是为跋.

                                    沈惠川

                                    于中国科学技术大学

                                    2011年1月30日

                                   （1月30日是爸爸沈志煌总工程师的生日）

（凌驾阁笔记）

之闲话热力学史

    一．关于闫康年的《热力学史》   

    1990年7月，中国科学院自然科学史所闫康年研究员（1933-）应我之索，寄来了他的大作《热力学史》。在随书同来的信中，闫先生要求我为此书写一篇“书评”。由于当时不明白这样的“书评”是由他推荐发表呢还是由我自己向杂志社投稿，而且当时我正忙于其他论文，因而一直没有动笔；时间一长，也就耽误了。前几天，突然想对热力学和《热力学》教科书闲评几句，联想到还欠闫先生一个人情债，故而在文首先扯一下这件事。

    在拙著《统计力学题谱》的“跋”中，我谈到了复旦大学已故王福山教授提供的有关《热力学史》出版前后的情况：

    在阎康年先生的《热力学史》出版前，我曾向王老师打听过热力学原始论文，因为我看到过一套由日本人编纂的热力学原始论文集. 王老师说：

    “热力学原始论文，我们以前是想出书. 后来可能销路问题只是按照当时已有的所刻蜡纸油印了一些，一套有几本·······这些原始文章主要是复旦理科大批判组时化学组胡家璁同志收集起来并翻译的. 我记得有热力学第一和第二定律方面的，其中如亥姆霍茨（H L F von Helmholtz）的Kraft（力，即能量），梅耶(J R von Mayer)在船上做医生时对人体血液变化的观察，克劳胥斯（R E Clausius）关于熵的几篇文章（凡德文的原始文章我都参与过校和译）. 卡诺（S Carnot）的文章因弄不到德文原文而从英译本译的. 此外当然还有汤姆逊（W Thomson）的文章. 胡家璁确实为此花了许多时间. 四人帮打人比黄花瘦倒后，理科大批判组解散，而这些资料（已刻成蜡纸）全由胡保管着. 后来我们把它们油印并装订成册，知道的就来买了.”

    阎康年先生的《热力学史》出版后，曾寄了一本给我. 由于剩书不多，他没有寄给王老师. 我曾去信问过阎康年先生他的资料来源，阎先生说他确曾参考过胡家璁的油印本.

    《热力学史》由山东科学技术出版社1989年出版，是国内第一本有关热力学史的学术书籍。闫康年先生在这本书上面花了不少心血：除了参考过胡家璁的油印本外，他还通过王竹溪先生、翁士达先生找到了相关资料；他本人甚至亲自到剑桥大学去搜集。热力学史之所以难写，一方面在于国外同类完整的书籍几乎没有（早期热力学简史散见于E Mendoza在《当代物理学》Physics Today杂志1961年第14卷第2期第32页上的介绍，E Mach的《热学原理》Principien der Warmelehre，M T F von Laue的《物理学史》Geschichre der Physik等中），另一方面在于创立热力学的几个“元老级”人物中有不少都不是由正规大学培养出来的物理学家，物理学史家对他们重视不够甚至十分轻视。例如焦耳（J P Joule，1818－1889）是一位啤酒酿造商，而梅耶（J R von Mayer，1814－1878）则是一个普通的开业医生。

    在闫康年先生的《热力学史》中，详述了通常热力学教科书中提到的“热力学三定律”以及它们的来龙去脉、它们的各种表述、首创权之争和它们的各种应用。在最后一章（即第六章）中，闫先生顺带介绍了热力学第零定律。这些介绍都很到位。

    实际上，由于“非平衡态热力学”的近代发展，现在又有了所谓“热力学第四定律”。但是，《热力学史》一书中却没有提到“热力学第四定律”。当然，瑕不掩瑜。

    除此之外，《热力学史》一书中还缺少一位十分了得、十分著名的人物，即J B J Fourier（傅立叶，1768－1830）。在许多讲述热力学史的书中，都有意无意地忽略了Fourier的开创性工作。有些人可能认为热力学的通常形式与“Fourier级数”或“Fourier积分”关系不大，但物理学家并不这样认为；例如汤姆逊（W Thomsom，即Kelvin勋爵，1824－1907）就自称Fourier关于热传导的工作影响了他在数学物理学方面的全部经历。数学史家J R Ravets和I Grattan-Guinness也说过：“由于人们仅仅只注意Fourier级数和Fourier积分这两个结果，并在评价它们的推导时使用了不合时代的严格性标准，所以长期把Fourier的主要成就史给搞混了。” Fourier是裁缝之子，当过修道士、牧师、教师，1798年随Napoleon攻打埃及，担任过地方行政长官，编撰了《埃及大全》，1817年被选为法莫道不消魂国科学院院士，1822年成为法莫道不消魂国科学院终身秘书。他是一个传奇式的科学家。（关于《热力学史》一书中缺少Fourier的遗憾，我收到闫康年先生来信后即向他表达了。闫先生答应以后若再版时考虑加入。）

    北京大学物理学院的刘川教授在课堂上详细介绍Fourier时说：

    J. Fourier，法莫道不消魂国人，经历比较坎坷。生活在法莫道不消魂国大革莫道不消魂命的动荡年代。当时他是二三十岁热心青年，投身革莫道不消魂命，加入了革莫道不消魂命委员会。法莫道不消魂国大革莫道不消魂命相当血腥，Fourier蹲过监狱，差点和Robespierre一起被送上断头台。但他命比较硬，没死；因为是温和革莫道不消魂命派，国家不但把他放了出来，还送他继续深造，一七九几年，巴黎高师初建，他是第一届或是第二届学生。他的老师都是非常有名的，如Lagrange, Laplace等等，Fourier认为Lagrange最棒，Laplace次之。后来，Fourier加入了法莫道不消魂国人民解放军，跟随Napoleon去打埃及，应该说还是有些邪有暗香盈袖恶的。当时Napoleon如日中天，打下了Alexandria城；Fourier就成了政府大员，负责建立埃及的教育系统。另外一件重要的事；就是去挖坟，把埃及法老的墓给科研了一下。不久，战事不顺，Napoleon在尼罗河上打了败仗，Fourier就又回来了。这一段主要是干革莫道不消魂命。到1804～1809年，他研究了固体中的热传导问题，这是他一辈子最伟大的，也是唯一说得上的工作，貌似是物理，其实是数学，开创了新的数学分支。热传导方程用三角级数展开求解的论文，送去评奖，经过了一番竞争，当然这竞争不是很激烈，是二选一；奖最后还是给了Fourier，但评价不好，受到了Lagrange, Laplace, Poisson的质疑，毕竟人们还只是习惯于Taylor展开。但，这是革莫道不消魂命性的工作，是现代实变函数的开端。

    Fourier 个人和Napoleon关系不错，但Napoleon后来对他不太满意，因为当Napoleon东山再起时Fourier躲着不想见他。但Napoleon还是委以重任，主管法莫道不消魂国科学院，他上任之后的第一个任务就是出版自己的书。“Fourier变换”于是乎变得重要了；就开始有人和他争优先权，就是那个和他一起争论文评奖的那位，叫做Biot（Biot-Savart定律的那个）。

     闫康年先生的《热力学史》搜集了许多资料，当然功劳应当充分肯定。因为这是中文热力学史中的第一本，而且在国际上也可能是开山之作。正因为是中文热力学史中的第一本，所以遗漏一些信息也在所难免。

二．关于热力学

    热力学与物理学中其他学科相比较，是一门十分特殊的部门（分支）。

    首先，热力学的“实验味”更重；它的许多结论都与日常生活经验有关（因而热力学是日常生活经验的总结，而日常生活经验总是与“熵”或“负熵”有关）；正是由于这一点，根据统计力学的物理分析可知，它实际上与我们所处的空间的维数和生物运动的范围是“非相对论的”有关（也许还取决于别的因素，例如在“临界现象”中至今仍有不得要领之处）。人类所做的所谓“实验”，由“实验”所得到的结论，都与这一前提有关。

    其次，热力学是唯一“不可逆”的物理学学科。所有“可逆”的物理学都可以是相互独立的，但所有的“不可逆”都是相互关联的。这种“不可逆”与时间的“不可逆”有关，很可能生物对时间的感知就是由于有这种“不可逆”的相互关联。

    第三，热力学中的逻辑推理只是“数学分析”中的“全微分”和“Pfaff方程”概念；数学上简单浅显、不会出错。所以，热力学的结果不可能与数学演算有关，而只可能与物理前提有关。热力学是物理实验和数学推演相结合的产物。相比较其他物理学学科，热力学中的数学只是“小学生”水平（实际上是“大一本科”水平）。

    第四，热力学中公式计算，有点类似于几何题的证明；在这一点上与相对论相仿。对于喜欢锻炼思维能力的大学生来说，热力学是一个很好的切入点；相比较理性很强的相对论来说，它还是较为平庸的（即使是“民科”也不会太为难）。

    第五，热力学与相对论一样，按照A Einstein的说法，是一种“原理性”的科学；它们凌驾于其他物理学甚至其他非物理学科之上；是物理学中的物理，是物理学中的哲学。但比较相对论来说，热力学结论只是经验的堆砌，在思想性方面还差得很远；热力学仅仅到了统计力学的程度，才算“入化”。

    第六，正是由于有上述第一和第五两点理由，热力学的结论可以被用于验证统计力学和相对论。热力学的结论可以被用于验证相对论（主要是相对论的一些结论），是出人意料的。

    第七，热力学与分析力学的Hamilton力学在数学结构上完全相同，因而二者在数学推演方面可以放在同一框架下进行。然而，热力学和Hamilton力学处理问题的侧重点是不同的，重大关切也是不同的；最重要的区别在于热力学“熵”是恒增的。

    第八，热力学只是“热学”的数学演绎。授课时比较吸引学生的还是“热学”，而热力学的讲解往往是枯燥乏味的（有学生在课堂上希望老师降尊纡贵将“热力学”讲成“热学”，也有老师在上“热力学统计物理学”课时将“热力学”内容略而不述）。所谓“热力学史”，很大程度上实际是“热学史”。

    一本思想深刻的热力学史，应当在书中适当反映以上这些观点。诗言志，史言哲。

三．“永动机”的笑话

    在热力学史中，少不了要谈论“永动机”。

    “永动机”的想法起源于古印度。在古印度的哲学中，永久的循环（佛教的“轮回”）起着巨大的作用。公元1200年前后，“永动机”的思想从印度传到了伊斯兰世界，并进而传到了西方。

    时至今日，各式各样的“永动机”设计和制造仍此起彼伏。

    在物理学理论中，为了简化的需要，几乎所有的物理学方程（除了热力学方程之外）都是时间可逆的（但若“力”是“非完整”的，也有可能导致时间不可逆），这就给设计和制造“永动机”者一种误导，使他们误以为机械能是永远守恒的，或者误以为时间流逝是双向的。

    有些“永动机”设计和制造更是自欺欺人的骗东篱把酒黄昏后局。

    为了不在这类无聊的骗东篱把酒黄昏后局中继续浪费时间和资源，18世纪的巴黎科学协会作出了“原则上不再受理”这类设计的决议。

    在热力学史中，应当对“永动机”的骗东篱把酒黄昏后局和错误予以批判和揭露。

1.第一类永动机

    第一类永动机即，不需要任何动力和燃料，却能不断地对外做功的机器。

    西方第一个设计第一类“永动机”的人是法莫道不消魂国营造师Villard de Honnecourt；1235年，他在一本书中画了一张“永动机”图。公元1200年后，另一位法莫道不消魂国人Piere de Maricourt用一个球磁体设计了另一种“永动机”。1715年，德国人Karl Elias Bessler制造了一个“永动机”骗东篱把酒黄昏后局；此骗东篱把酒黄昏后局曾骗倒了许多王公贵族、神学家和哲学家。这一骗东篱把酒黄昏后局后来被其女仆所揭穿：原来此“永动机”是由邻屋里的人用手推动的！

2.第二类永动机

    第二类永动机即，能从单一热源吸收热能并使之完全变为有用功而不产生其他影响的机器。（F. W. Ostwald（1853-1932））

    关于第二类永动机的“设计”和“制造”，至今仍为“民科”所热衷。但没有一项是成功的（“没有一项是成功的”就是规律）。

    有一本热力学史中收录了喜剧大师Michael Flanders 和Donald Swann的歌曲《第一和第二定律》：

                          （1）

    你不能让热从冷处传到热处，

    你想试一试吗？结果将一无所获！

    “不见得吧？

    让冷的再变冷，会让热的再变热——这才合乎规矩，

    就像热能从热的东西传出，

    一定会使冷的东西变热。”

    不！你不能让热从冷处传到热处。

    你如果要试试，你就犹如一个蠢货！

    冷的东西变热，这才合乎道理——

    因为这是一条物理法则！

                      （2）

    热就是功（工作），而工作是该死的东西！

    宇宙中所有的热，因为不能再增加，

    将要逐渐冷下去。

    此后，不会再有任何工作了，

    于是天下太平，永远的休息！

   “真的吗？”

    真的！老兄，这就是熵！

    所有这些都是因为——

    热力学第二定律！

四．热力学“趣事”、“囧事”一箩筐

    热力学第零定律是由否勒（R H Fowler，1889-1944）和乌伦贝克（G. E. Uhlenbeck，1900-1974）提出的。

   热力学第一定律是由卡诺（N L S Carnot，1796－1832）、焦耳、梅耶（迈尔）、克劳修斯（R J E Clausius，1822－1888）、汤姆逊（W Thomsom，即Kelvin勋爵，1824－1907）、亥姆霍兹（H. L. F. von Helmholtz，1821-1894）等几个人创立的。

    热力学第二定律是由克劳修斯、汤姆逊、克拉佩隆（B-P Emile Clapeyron，1799-1864）、朗金（W J M Ranking，1820－1872）、喀喇斯奥多瑞（C Caratheodory，1873－1950）等几个人创立的。

    热力学第三定律是由能斯脱（W H Nernst，1864－1941）和西蒙（Sir F E Simon，1893－1956）创立的。

    热力学第四定律即“Onsager倒易关系”是由昂萨格（L Onsager，1903－1976）创立的。

    热力学发展史出现的这些科学家，比起其他物理学科中的科学家，甚至其他非物理学科的科学家来说，“趣事”和“囧事”更多。闫康年先生书中，只对个别科学家的生平作了介绍，而且都很严肃、正经（同时语焉不详），其实不严肃、不正经的事迹在书中插几句也未尝不可。

    在热力学史中，科学家所遭受到的苦难和“不堪”似乎比其他学科中的科学家遭受到的更多。

    1.关于麦克斯韦、艾伦菲斯特和玻尔兹曼

    否勒是P A M Dirac（1902－1984）和王竹溪（1911－1983）的老师，他是E L Rutherford（1871－1937）的女婿，而Rutherford又是J J Thomson（1856－1940）的学生，Thomson则是J C Maxwell（1831－1879）的接瑞脑消金兽班人。Maxwell因出身贫寒（他是苏格兰人）而不被英国皇家科学院看重（他一生只有牛津大学和爱丁堡大学两个荣誉学位，只获得皇家学会的伦福德奖章和爱丁堡皇家学会的基思奖章两个奖项），英国女王1960年在提到英国以前许多有名的物理学家时甚至连Maxwell的名字提都没提（名单大概是皇家学会为她开出的）。

    乌伦贝克是吴大猷（1907－2000）、王承书、王明贞的老师，又是P Ehrenfest（1880－1933）的学生，而Ehrenfest则是L Boltzmann（1844－1906）的学生。正式的说法是：Ehrenfest因儿子有病而与儿子同归于尽，Boltzmann则因精神有病而上吊自杀。但也有山寨版的说法。

    中国的统计物理学家基本上都是王竹溪和吴大猷的门生（或者门生的门生），追根溯源，就是Maxwell和Boltzmann的学术继承人。

2.关于卡诺

    卡诺出身于一个显赫的政治家庭，其父拉扎尔·卡诺（Lazare Carnot）先后是罗伯斯庇尔（Robespierre）的十二人公半夜凉初透安委员会的成员之一、拿破仑.波拿巴（Napoleon Bonaparte）第一执政官（又是拿破仑！）手下的战争部长及滑铁卢战争前百日政权的内政部长。当拿破仑帝国在1815年被倾覆后，拉扎尔被流放国外，直至1823年病死于马格德堡。有一次，拿破仑正在向湖中载有一群女士的一艘小船周围扔石头，以溅水取乐；小卡诺冲上去大喊：“你这个讨厌的第一执政官，不许调戏女士！” 拿破仑闻后大笑。科学史家说；“此事幸亏没有对科学史造成严重后果。”

      卡诺从巴黎理工学院毕业后进入巴黎总参谋军团，后又到法兰西学院听课。由于巴黎总参谋军团的改组，他被调回部队。然而，呆在部队的时间还不到一年，他便永远地辞去了职务，并在巴黎他父亲遗留下来的私寓里长期定居下来。卡诺性格孤僻而清高，他一生只有少得可怜的几位好友。在学派林立的巴黎学界，卡诺的厌世情绪越来越严重。

　　他父亲的革莫道不消魂命思想对他的影响至深，以致使他不满时局而与时代格格不入，这就更加恶化了他与社会的关系。七月革莫道不消魂命爆发以后，他一度表现积极，但很快又失望了。由于他父亲的名气，七月革莫道不消魂命党人提名他为巴黎政府的内阁成员。他厌恶这种官衔世袭的作法，毅然拒绝。最后他仍回到自己的书桌前从事科学研究。1831年，卡诺开始研究气体和蒸汽的物理性质。1832年6月，他患了猩红热，不久后转为脑炎，他的身体受到致命的打击。后来他又染上了流行性霍乱，竟于同年8月24日被夺去了生命。卡诺谢世两年后，他的弟弟才发表了《关于火的动力和产生这种动力的机器的看法》这本书。此书的第一个认真读者是克拉佩隆。Maxwell对卡诺理论作过高度评价；他说过：“卡诺的理论是一门具有可靠的基础、清楚的概念和明确的边界的科学。”

    3.关于焦耳

    焦耳身有残疾。由于这一原因，圣安德鲁斯大学甚至拒绝聘任他担任“自然哲学”教授（太过分了！）。1875年，焦耳的经济状况大不如前。这位曾经富有过但却没有一定职位的人发现自己在经济上处于困境，后来幸而在朋友的帮助下他弄到一笔每年200英镑的养老金，使他得以维持中等但舒适的生活。五十五岁时，他的健康状况开始恶化，研究工作减慢了。1878年当他六十岁时，焦耳发表了他的最后一篇论文。1889年10月11日，焦耳在索福特逝世。

    4.关于梅耶（迈尔）

    梅耶1840年开始在汉堡独立行医。他对万事总要问个为什么，而且事必亲自观察，研究，实验。1840年2月22日，他作为一名随船医生跟着一支船队来到印度尼西亚。有一日，船队在加尔各达登陆，船员因水土不服都生起病来，于是梅耶依老办法给船员们放血治疗。在德国，医治这种病时只需在病人静脉血管上扎一针，就会放出一股黑红的血来，然而在这里，从静脉里流出的却仍然是鲜红的血。于是，梅耶开始思考：人的血液之所以是红的是因为里面含有氧，氧在人体内燃烧产生热量，维持人的体温。这里天气炎热，人要维持体温不需要燃烧那么多氧了，因而静脉里的血仍然是鲜红的。那么，人身上的热量到底是从哪来的？顶多500克的心脏，它的运动根本无法产生如此多的热，无法光靠它维持人的体温。那体温是靠全身血肉维持的了，而这又靠人吃的食物而来，不论吃肉吃菜，都一定是由植物而来，植物是靠太阳的光热而生长的。太阳的光热呢？太阳如果是一块煤，那么它能烧4600年，这当然不可能，那一定是别的原因了，是我们人类未知的能量了。他大胆地推出，太阳中心约2750万度（现在我们知道是1500万度）。梅耶越想越多，最后归结到一点：能量如何转化（转移）？他一回到汉堡就写了一篇《关于无生命自然界力的评论》，并用自己的方法测得热功当量为365千克米/千卡。他将论文投到《物理年鉴》，却得不到发表，只好发表在一本名不见经传的医学杂志《化学与药学年鉴》上。梅耶的这篇论文“关于无生命自然界力的评论”实际上是他的第二篇论文，直到1842年才发表，原因是他的第一篇论文物理学水平很差，而且他所使用的个人“俗语”确实为大多数物理学家所厌恶（有不少物理学家包括焦耳都笑话他在论文中尽是自创的或不规范的术语）。他的第一篇论文直到他去世后的1881年才重新取回发表。在1851年之前，梅耶一共写过4篇论文。 他到处演说：“你们看，太阳挥洒着光与热，地球上的植物吸收了它们，并生出化学物质……”等等。

    然而，即使是最开放的物理学家们也无法相信他的话，除了批评就是冷嘲热讽，人们称他为“疯子”，而梅耶的家人也怀疑他疯了，竟要请医生来医治他。他不仅在学术上不被人理解，而且又先后经历了生活上的打击，幼子逝世，弟弟也因革莫道不消魂命活动受到牵连，在一连串的打击下他是吗继而精神错乱，并失去生活的勇气。梅耶于1849年从三层楼上跳下自杀，但是未遂，却造成双腿伤残，从而成了跛子。随后他被送到哥根廷精神病院，遭受了八年的非人折磨。1851年他在论文《论热的机械当量》中说：“我继续隐瞒热的机械当量的存在是不可能的。但是，虽然我对于这个发现必须感谢一个偶然的事件，它却仍然是我自己的，并且我毫不迟疑地维护我的发现权。”“这一课题不久就引起学者们的注意，因此在国内外已排除了作为国内发现来对待；我自己觉得不得不宣布我有资格获得优先权。” 1852年他“因精神错乱”住院治疗，康复后再也没回到科学研究上来。1858年，世界又重新发现了梅耶，他从精神病院出来以后，被瑞士巴塞尔自然科学院授为荣誉博士。晚年的梅耶也可以说是苦尽甘来，在晚年他先后获得了英国皇家学会的科普利奖章，还获得了蒂宾根大学的荣誉哲学博士、巴伐利亚和意大利都令科学院院士的称号。1878年3月20日梅耶在海尔布逝世。

5.关于克劳修斯                       

     1870年克劳修斯在普法战争中组织了一支救伤队，在战争中受了伤，持久伤残，因此被授予铁十字勋章。

    还有其他几个从事热力学研究的科学家也遭受类似的磨难。

    这些科学家所遭受到的苦难和“不堪”令人深思！多灾多难！

    多难或许兴“邦”。

（凌驾阁笔记）之“四亚名著”

      中国古典小说目前公认的“四大名著”是《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》和《西游记》。实际上，在此“四大名著”之上，还有一本《金瓶梅》。鲁迅先生说：“明季以来，世目《三国》《水浒》《西游》《金瓶梅》为‘四大奇书’，居说部上首，比清乾隆中，《红楼梦》盛行，遂夺《三国》之席，而尤见称于文人。惟细民所奢，则仍在《三国》《水浒》。”以文学成就而言，如果一定要找出“四”大名著，则非《金瓶梅》《红楼梦》《三国》《水浒》莫属。但文人不好意思多提《金瓶梅》，因而就将《西游记》顶了上去。近来，更有人声称中国够格称得上“小说”的只有三部：《水浒》、《金瓶梅》和《红楼梦》。估计这些人是将《三国演义》作为“历史”来看了。

      声称中国够格称得上“小说”的只有三部的人，其心底的标准是“翻译小说”。确实，从写作手法、故事内容、文学造诣、思想深度等方面来比较，有些“翻译小说”强处彰显。中国古典“说部”虽有不少（详见孙楷第的《书目》），但从纯文学角度来看，鲜有可以与当代优秀翻译小说相比者（当然，优秀翻译小说能够被介绍到国内，说明它们在国外本来已经过严格的遴选）。但，并非所有中国小说都是可以忽略不计、不值一提的。

      例如，可以在“四大名著”之下另外选出“四亚名著”（过往，就曾有人出版过所谓“十大名著”）。标准是：销售量，可读性（“趣味性”或“故事性”），“回头率”，引用率，影响力。其中“回头率”系指读者的多次阅读率。即使按这一标准进行遴选，仅次于“四大名著”的“四亚名著”（其中“亚”字比“次”字更好）也各有所好；本人认为，这“四亚名著”应当是《东周列国志》《隋唐演义》《封神演义》和《三侠五义》（及其续书《小五义》和《续小五义》）。似乎某些人对《三侠五义》（及其续书《小五义》和《续小五义》）进入“四亚名著”有点意见，但考虑到金庸、古龙、梁羽生等人的“新武侠小说”实际上来源于《三侠五义》及其续书，这种意见就成了偏见。

    一．《东周列国志》

      《东周列国志》这部书与《三国演义》十分相像，甚至不亚于《三国演义》。鲁迅先生引用《东周列国志读法》云：“若说是正经书，却毕竟是小说样子，……但要说它是小说，它却件件从经传上来。”这一点与《三国演义》相同。

      另一个与《三国演义》十分相同之处，是书中强调“计策”和“谋略”。将《东周列国志》和《三国演义》放在一起看，就可以成为军事家或政治家（例如太平天国翼王石达开，就身不离《东周列国志》和《三国演义》）。这种功效，是其他小说书所不可能具有的。

      《东周列国志》的历史背景是秦统一六国。书中关于大至合纵连横，小到用间行刺的计谋都很发人深省，对于现实的国际斗争有着重要的借鉴意义。

      《东周列国志》和《三国演义》这两部书，外国绝对没有，只有中国人写得出来；即使老外要翻译这两部书，也很难萃其精华。

      《东周列国志》稍逊《三国演义》之处，是书中没有如关羽、诸葛亮这样的明星级人物。

    二．《隋唐演义》

      鲁迅先生说：“《隋唐演义》计一百回，以隋主伐陈开篇，次为周禅于隋，隋亡于唐，武后称尊，明皇幸蜀，杨妃缢于马嵬，既复两京，明皇退居西内，令道士求杨妃魂，得见张果，因知明皇杨妃为隋炀帝朱贵儿后身，而全书随毕。凡隋唐间英雄，如秦琼窦建德单雄信王伯当花木兰等事迹，皆于前七十回中穿插出之。其明皇杨妃再世姻缘故事，序言得之袁于令所藏《逸史》，喜其新异，因以入书。此他事状，则多本正史纪传，且益以唐宋杂说，如隋事则《大业拾遗记》《海山记》《迷楼记》《开河记》，唐事则《隋唐嘉话》《明皇杂录》《常侍言旨》《开天传信记》《次柳氏旧闻》《长恨歌传》《开元天宝遗事》及《梅妃传》《太真外传》等，叙述多有来历，殆不亚于《三国演义》。惟其文笔，乃纯如明季时风，浮艳在肤，沉著不足，罗氏轨范，殆已荡然，且好嘲戏，而精神反萧索矣。”

      鲁迅先生所说“殆不亚于《三国演义》”，在读者眼里由于有“秦琼窦建德单雄信王伯当”诸瓦岗英雄，实际上应当是“殆不亚于《水浒》”。《隋唐演义》中的“瓦岗寨”，相当于《水浒》中的“梁山泊”；《隋唐演义》中的秦叔宝，相当于《水浒》中的林教头；《隋唐演义》中的尉迟恭，相当于《水浒》中的鲁智深、武都头；《隋唐演义》中的程咬金，相当于《水浒》中的李铁牛。“鞭、斧成就唐江山，双锏打出李天下”！

      《隋唐演义》之强于《水浒》处，在于《水浒》英雄最后败亡而《隋唐》英雄最后功成名就。有人或许认为《水浒》英雄最后败亡才显得有深刻的思想性和不朽的文学性，但老百姓更喜欢《隋唐》英雄最后功成名就的大团圆结局也是不争的事实。

      《隋唐演义》之后，又有《秦王李世民》、《说唐三传》、《罗通扫北》、《薛仁贵征东》、《薛丁山征西》、《薛刚反唐》等续书。在这些续书中，对唐太宗李世民的评价都是正面的；说明了明朝之前的朝廷和民间都认为李世民是个好皇帝。这是民瑞脑消金兽意所归。

       隋唐故事，得益于“贞观盛世”，故而万世传颂。

    三．《封神演义》

       与《西游记》相当的是《封神演义》。传说是作者许仲琳与别人打赌，穷一夜之功完成此书的。

       鲁迅先生说：“《封神传》一百回，今本不题撰人，梁章钜（《浪迹续谈》六）云：‘林樾亭（案名乔荫）先生尝与余谈，《封神传》一书是前明一名宿所撰，意欲与《西游记》《水浒传》鼎立而三，因偶读《尚书》《武成》篇唯尔有神尚克相予语’，衍成此传。其封神事则隐据《六韬》（《旧唐书》《礼仪志》印）《阴谋》（《太平御览》引）《史记》《封禅书》《唐书》《礼仪志》各书，铺张俶诡，非尽无本也。”然名宿之名未言。日本藏明刻本，乃题许仲琳编（《内阁文库图书第二部汉书目录》），今未见其序，无以确定为何时作，但张无咎作《平妖传》序，已及《封神》，是殆成于隆庆万历间（十六世纪后半）矣。书之开篇诗有云，“商周演义古今传”，似志在于演史，而侈谈神怪，什九虚造，实不过假商周之争，自写幻想，较《水浒》固失之架空，方《西游》又逊其雄肆，故迄今未有以鼎足视之者也。

       民间各路神仙和诸如“姜太公在此百无禁忌”等偈语，许多出自此书。其影响不容小觑。

       书中关于商纣王、妲己、周武王的描写，也是其他小说中少见的。

      《封神演义》中类似《西游记》的地方，就是引入了土行孙、雷震子等奇人异事。

      《封神演义》又名《封神榜》，故事虽然讲的是未登“封神榜”前诸神仙之间的斗争，但登上“封神榜”后诸神仙之间难道就没有斗争了吗？《西游记》中就揭露了“位列仙班”的神仙之间也有“人性”的一面：开后门，好吃懒做，调戏妇女，收受贿赂，阿谀逢迎，溜须拍马，裙带关系，欺上瞒下，等等等等。人之所好，神仙亦好。《封神演义》描写了这些神仙的出身来历。

       除了“怪力乱神”之外，《封神演义》还有历史学上的重要意义。尽管书中的历史资料不全可靠，甚至完全不可靠，但至少反映了明朝之前的人对商亡周兴这段历史的看法。书中的有些资料肯定有所本，不可能全是许仲琳杜撰的。此外，国外有学者认为现在美洲的“印第安人”就是“殷地”人为逃避战祸移居过去的（姑妄信之）；人们是否能从《封神演义》中看出些许仲琳“有所本”中的什么端倪来呢？

    四．《三侠五义》

       鲁迅先生说：“《三侠五义》出于光绪五年（一八七九），原名《忠烈侠义传》，百二十回，首署‘石玉昆述’，而序则云问竹主人原藏，入迷道人编订，皆不详为何如人。凡此流著作，虽意在叙勇侠之士，游佳节又重阳行村市，安良除暴，为国立功，而必以一名臣大吏为中枢，以总领一切豪俊，其在《三侠五义》者曰包拯。”“元人杂剧中已有包公‘断立太后’及‘审乌盆鬼’诸异说；明人又作短书十卷曰《龙图公案》，亦名《包公案》，记拯借私访梦兆鬼语等以断奇案六十三事，然文意甚拙，盖仅识文字者所为。后又演为大部，仍称《龙图公案》，则组织加密，首尾通连，即为《三侠五义》蓝本矣。”“如三侠，即南侠展昭，北侠欧阳春，双侠丁兆蓝、丁兆蕙，以及五鼠，为钻天鼠卢方，彻地鼠韩彰，穿山鼠徐庆，翻江鼠蒋平，锦帽鼠白玉堂等……”

       在《三侠五义》之后，又有《小五义》和《续小五义》（这三部书应该合刊发行）。以后出现的武侠小说，包括近现代金庸、古龙、梁羽生等人的“新武侠小说”，都是它的续书或延伸。

       自《三侠五义》开始，就有“文武配”：一个文职清官身边必有一个武侠相助。《三侠五义》中是包拯配展昭，《小五义》和《续小五义》中是颜查散（也有版本中写作颜春敏的）配白玉堂；到了《施公案》中是施不全配黄三泰，到了《彭公案》中是彭朋配黄天霸。这种“文武配”的格局，即使在金庸的“新武侠小说”中也有影子。

      在《小五义》和《续小五义》中，有一个反派角色“襄阳王”。这个“襄阳王”是作为赵宋王朝的对立面出现的。“襄阳王”的原型很可能就是宋太宗赵光义的弟弟赵光美的后人（或类似赵光美后人这样的皇亲国戚）。当然《三侠五义》、《小五义》和《续小五义》是维护正统赵宋王朝的（包拯等人也是维护正统赵宋王朝的），但“襄阳王”之所以“反叛”实际上与宋太宗赵光义篡夺皇位（所谓“斧声烛影”）一事有关。从《小五义》和《续小五义》中可隐约嗅到这种血腥气味。

      《小五义》和《续小五义》中的“襄阳王”，与《水浒》中的柴进“柴大官人”，都是可以重新演绎的人物。他们都与赵宋王朝的皇权有关。凡是以北宋故事为历史背景的小说演义，包括《水浒》、《小五义》和《续小五义》，其中都存在“斧声烛影”的痕迹。

       如上所述，将《东周列国志》《隋唐演义》《封神演义》和《三侠五义》（及其续书《小五义》和《续小五义》）称为“四亚名著”是名至实归的。

       《东周列国志》《隋唐演义》《封神演义》和《三侠五义》（及其续书《小五义》和《续小五义》）都是“男人的小说”。类似《金瓶梅》和《红楼梦》这样以女性为主的“女性小说”也有一部比较有名的，那就是《再生缘》。《再生缘》是清代杭州才女陈端生（1751年—约1796年）所著的长篇弹词。《再生缘》行文潇洒、语言风趣、风采卓绝，是中华五千年光辉灿烂文化中的光辉典籍，与古典名著《红楼梦》并称为“南缘北梦”，遗憾的却是一部未完之作。人们喜爱《再生缘》更喜爱端生前辈《再生缘》所塑造的不朽的孟丽君这位惊才绝艳、智慧超群的艺术形象。数百年来，其演绎作品层出不穷不可胜数，众多衍生作品多称之“孟丽君…… ”。（类似的长篇弹词还有《天雨花》等。）不过相比较而言，《再生缘》的名气不如《东周列国志》《隋唐演义》《封神演义》和《三侠五义》。

    台湾诗人余光中有诗曰：

    “小时候，乡愁是一枚小小的邮票，我在这头，母亲在那头……”

    对我这苏州人而言，乡愁是一碗热腾腾的阳春面，二两一碗，走到哪里，那细细的面条都会牵动游子的胃口，好比戏文里杜丽娘“寻梦”时唱的：

    “睡荼蘼抓住裙衩线，恰便似花似人心好处牵。”

    像荼蘼般牵动苏州人乡愁的不是大闸蟹，是再平常不过的阳春面。

    阳春面就是一碗“光面”，面条，汤水，葱花三位一体的清汤面。可就是这碗清汤面，才显比出煮面的水平。就好似赛歌不用伴奏，只凭清唱，选美不靠包装，只穿比基尼，拼的就是“素”实力。走南闯北数十年，无论四川担担面，北京炸酱面，西北拉面，山西刀削面，广东云吞面，就没有哪碗面能让人“此处乐，不思蜀”忘记苏州的阳春面。有的面“粉”往返于沪宁线上，会在苏州下车专奔这碗面，先过口腹之瘾再续行程。“若过洛阳风景地，含情重访永丰坊”这份执着，可称得“面痴”。这几年，清明节扫墓，兄弟姐妹加子侄晚辈十多人，扫墓祭奠事毕就直奔“万福兴”，每人一碗“双浇面”，一舒阳春面情结。

    在物价稳定的那三十年里，一碗阳春面二两半卖一角钱，二两的八分。在更为遥远的“老底子”，据称一碗面卖十文钱，中国民间把农历十月称“小阳春”，“阳春面”由此得名，“阳春”表示“十”，深意是“十文面”。如是我闻，姑妄听之，反正堂倌吆喝“二碗阳春”总比“光面二碗”听着吉祥。虽说是清光汤面，这汤可不是酱油加味精勾兑的，是用猪骨，鳝鱼骨，鸡骨等作料细火炖熬而成。苏州的“老吃客”一早赶去吃“头汤面”，奔的就是那煨制了一夜的鲜汤。掌勺师傅操持一把竹丝小漏勺，一双长筷，捞面进勺，在空中两个空翻，再抖三抖，摔干煮面水，往滚烫的面汤里一沉，如一团绒线，梳过一般齐整紧实。那面入口，滑，爽，紧，鲜，软，汤汁和面条融合如一，有说不尽的滋味。白居易咏“杨柳枝”诗云：“嫩于金色软于丝”搬来形容阳春面倒也妥帖。

    意大利面也算“面条世家”之一杰，做成空心的叫“通心粉”，或成螺旋型，其奥妙是能裹住足够的汤汁，每根面都是“灌汤”的，自然入味。苏式面似乎也有这妙处，外表看不出，但味道不是一般挂面能望其项背。

    上海离苏州不足百公里，可上海的面在苏州人嘴里总要差一档。“月是故乡明”，倒不是说苏州的月亮比上海圆，但苏州的面确非上海可比肩。上海也有苏式面馆，有的还装潢有致，仿古的建筑，仿红木的八仙桌，挂着花鸟写意，配着评弹雅韵，红木筷子青花碗，可面的味道依然无法拔高，仍差一档。似乎不在于“配方”，而在少了点“灵性”一类的要素。工业化的今天，什么都能“山寨”组装，批量生产，可这灵性“精气神”是组装不了的，中国菜很难像麦当劳，肯德基那般标准化，道理也在于此。“火的艺术”非好厨师莫属，麦当劳不是烹调艺术，是工业品。如今，人们餐桌上的鱼肉蛋禽，蔬菜瓜果，又有几多不是“工业品”？

    有了好面条做底子，再配以好伴侣，就能翻出数十种“花式面”来，爆鳝，虾腰，焖肉，排骨，炒肉，蹄髈，熏鱼，香菇，素什锦，葱油开洋，雪菜肉丝，可谓风情万种，难能“面面”俱到。苏州的面馆如同巴西的足球，中国的乒乓，有着深厚的“群众基础”。当年，在街边巷口大大小小开着不知多少面馆，苏州的“吃客”也不迷信名牌，全凭口舌感觉，发现哪家“小荷才露尖尖角”，就会街谈巷议，一传十，十传百，免费做广告，纷纷前往一尝。

    五十年代的苏州，即使一些无名小馆，也做得一手好面。我家附近在景德路道堂巷口上就有家小面馆，进门就是大灶，师傅在那下面，里边摆四五张八仙桌，被碱水洗得“刷白”。有时祖母让我去买碗干面回家，加上自家熬的葱油开洋（虾米），配以自煮的虾子酱油，调制出一碗葱油拌面，美味无比，鲜得“掉眉毛”，以至于今天还怀念那滋味，有时去“永和豆浆”要碗葱油拌面，虽说时过境迁，可蛛丝马迹，聊胜于无，在舌尖上寻觅昔日余味。

    苏州最出名的面馆都有数十年乃至几百年历史，如松鹤楼，观正兴，朱鸿兴，黄天源等。老吃客们像追星似的趋之若鹜，吃碗好面是一天好心情的开始，接下来泡茶馆，泡澡堂，“皮包水，水包皮”享受悠闲人生。五十年代后这些名店都转国营或合营了，不免千店一面，徒有其表，逐渐丢了本色。“玄妙观”边上的“黄天源”是做糕团为主的，可那碗“炒肉面”特别出色，肉丝，黄花菜，黑木耳，虾仁，笋尖等金风配玉露，便独领风骚数十年。每次回苏州伯父都会指点迷津，告知当下哪家面馆的面好，哪家的面吃不得了。七十年代后期，他说阊门外吊桥堍的“近水台”面好，还存旧风。这店名也好，“近水楼台先得月”，名字就把“得月楼”压了下去。果然那里的面和汤包都极好。广东有“云吞面”，把面和馄饨配在一起，苏州人没有这种搭配。胃口好的吃碗面可再来客汤包，每客六只，一碗蛋皮葱花汤。汤包要在汤里泡之而后食，形似汤元，其皮薄如纸，筷子一挑如同拎起个布袋，里面是肉馅加一泡肉汁，“天堂”的美味，可惜如今在苏州已很难觅其踪影，不知是失传了？还是制作太费事？现在有些号称“汤包”的其实是“小笼包子”，带褶有孔，内含汤汁，全不是那回事。

    “好花知时节”苏州人吃美食也讲究时令，什么时节吃什么，夏初是吃卤鸭面的时节。62年初夏，上海的表姐来苏州玩，那年“困难时期”刚进尾声，“春江水暖鸭先知”，鱼米之乡的苏州供应明显好转，乾隆御驾亲临过的“松鹤楼”又有招牌名点“卤鸭面”应景了！国家大病初愈，中气不足，美誉天下如松鹤楼者，每天也只能供应数十碗卤鸭面。祖母招待表姐，我们三人天不亮就起床，祖母是小脚，从家走到观前松鹤楼要半小时以上，三人在黎明前最后一抹夜色里，来到松鹤楼门前，已有一群人结队成行，翘首静候开门。时过六点，门启一线，我等鱼贯拥入，在八仙桌前坐定，服务员按桌号卖筹。幸哉，到我们这桌还有！同桌一位老先生，老而不衰，瘦而不弱，嗓音洪亮，喜笑颜开，眉飞色舞，说他这是第三次来了，前两次皆扑空，失望而归，“今天总算达到目的！”一脸的幸福感，面未上，先已陶醉得忘情，仿佛苦追的意中人终于点头。区区一碗面也阅尽人生之“失意”与“得意”，这碗面注定是我今生不会“相忘于江湖”的。

    十年后，七十年代初，天翻地覆，物是人非。故地重游，“君子好逑”，携红颜同游灵岩山。山上庙里的菩萨已经“一佛出世，二佛升天”，被“打人比黄花瘦倒”“砸烂”，代之以泥塑“收租院”，主持方丈先已自挂院门，拿自己开了杀戒，剩下的和尚亦僧亦俗，经营素面。我们吃了碗“素什锦面”，那味道也是鲜美入骨，苦难年代，弥足珍贵，经久不忘，几十年后还记得。

    又过四十年，前年回苏州，临离开那天早晨，专门独自去位于太监弄的“朱鸿兴”新店吃面。当年上高中天天路过人民路上的老店，吃过不知多少碗面，就像去会旧情人，一叙旧梦。那新店门面可算入时，仿古建筑，面价也比其他面馆贵几成，却吃客寥寥，面端上桌竟是温的，“不阴不阳”，没有热气，根本焐不透那块“过桥”的焖肉，面未吃完，舌头就被味精“咬”得发干，只想喝水，真是“相见不如相忆”，只能骗骗慕名外来的旅游者。没有“私有”做基础的“公有”，终将成“空有”“乌有”，这是屡试不爽的经济规律。

    有朋友取笑我，前番最爱“菜泡饭”，怎么今又盯上面条了？有用心不专之嫌。

哈！有所不知，早晨一碗“爆鳝面”，晚上一碗“菜泡饭”，才是地道苏州人过的神仙日子。

                                  顾耀文  2012-3

立方非线性薛定谔方程之间的

相似性

三评沈惠川先生的《统计力学》

      “立方非线性Schrödinger方程”及其“孤立子解”是众所周知的；没有想到的是，Boltzmann方程的精确解竟然同“立方非线性Schrödinger方程”的“孤立子解”有相似性！当然，此时的Boltzmann方程是经过沈惠川先生改造过的（以前沈先生在《经典力学》一书中对von Karman方程进行过改造，确信这次也是他对Boltzmann方程进行了改造）。

      沈惠川先生改造Boltzmann方程（主要是按照“系综理论”重新推导“碰撞项”）的理由如下：

      （1）推导的出发点并非完全是“Euler描述”的统计力学，而主要是“Lagrange描述”的气体运动论；因而“传统Boltzmann方程”实际上是“Euler描述”的统计力学与“Lagrange描述”的气体运动论的丑陋拼凑；

      （2）“碰撞项”中被进行“统计平均”的不全是“内参量”（例如广义坐标和广义动量），而且同时还含有“外参量”（例如散射角等），这对以“系综理论”为基本理念的统计力学来说是十分不妥的；

      （3）作为力学过程的“弹性碰撞”以及作为粒子（气体分子）形态的“光滑弹性球体”都是十分特殊的物理模型，没有任何普遍意义，对用“系综理论”建立动力学方程来说实在是太具体了；另外，由于“微分散射截面”与“动量差的绝对值”之间的函数关系对不同的“气体”、不同的物理状况有多种可能、其理论的“唯一性”和过分的“精确性”亦都甚为可疑.

      （4）Boltzmann方程中的“碰撞项”从形式上看仅仅适合讨论3维坐标空间和3维动量空间（“分子相空间”）中的问题，而对高于3维坐标空间和高于3维动量空间（不一定是“系综相空间”）中的问题束手无策，这完全是由于对“碰撞”的描述只能是在“系综相空间”中进行的所致；

      （5）推导过程违背Einstein的“逻辑简单性”原则，而且在Boltzmann方程等号两边所运用的确实是两套完全不同的逻辑；Boltzmann方程等号左边可以是“系综相空间”，而在Boltzmann方程等号右边却只能是“分子相空间”；方程等号右边的适用范围比方程等号左边的适用范围来得狭窄. 因而，Boltzmann方程带有明显的“拼凑出来”的痕迹.

      在下认为其中最重要的是第（1）条和第（5）条，即，在传统Boltzmann方程“碰撞项”的推导过程中用到的“气体运动论”属于“Lagrange描述”而不是系综理论的“Euler描述”；为了使Boltzmann方程等号两边都是“系综”的，就必须将“传统Boltzmann方程”改造成“Boltzmann-Gibbs方程”。

      在改造传统Boltzmann方程“碰撞项”的几条关键步骤中，在下认为最重要的是关于“碰撞”的以此定义：（单位时间内）在“分子相空间体积元”中，“同时发现”（或“同时出现”）动量为p(1)的粒子和动量为p(2)的粒子的“粒子数”，就等于（或“正比于”）“即将”“碰撞”的次数（注意，这里所说的“碰撞”不一定是非得要真正地“碰”一下“撞”一下，只要是“同时同地发现”，就等同于一次“碰撞”。

      根据这几条关键步骤，自然就可以导得“Boltzmann-Gibbs方程”。   “Boltzmann-Gibbs方程”在物理学上的表现与原来的“传统Boltzmann方程”完全一样。所有由“传统Boltzmann方程”导出的结果，同样可以由“Boltzmann-Gibbs方程”导出来。

      这一“Boltzmann-Gibbs方程”不仅更符合“Euler描述”的系综理论，而且可以由此得到“孤立子解”。“Boltzmann-Gibbs方程”的“孤立子解”具有“平方双曲正割函数”的形式。人们回忆起，“立方非线性Schrödinger方程”的“孤立子解”具有（除了一个指数因子外）“双曲正割函数”的形式；如果将“立方非线性Schrödinger方程”的“孤立子解”与其复数共轭相乘的话，同样也是“平方双曲正割函数”的形式（只是其中的“宗量”形式有所不同）。考虑到“Boltzmann-Gibbs方程”中的物理变量（“分布函数”）正好相当于“立方非线性Schrödinger方程”中的物理变量（“波函数”）的平方，从而便出乎意料地得到一个结论：“Boltzmann-Gibbs方程” 的精确解本质上同“立方非线性Schrödinger方程”的“孤立子解”具有相似性！

      于是，这种相似性体现在“立方非线性Schrödinger方程”的“孤立子解”的“结构因子”是“双曲正割函数”的形式，而“Boltzmann-Gibbs方程”的“孤立子解”的“结构因子”具有“平方双曲正割函数”的形式。

      这说明了，在“Boltzmann-Gibbs方程”中与在“立方非线性Schrödinger方程”中，存在类似的数学结构和类似的物理学诠释。当然，这两个方程之间的区别也是明显的：“立方非线性Schrödinger方程”是“时间可逆”的方程（其“逆时间”方程就是其共轭方程），而“Boltzmann-Gibbs方程”则是“时间不可逆”的方程。从“非平衡态统计力学”的立场来看问题，“Boltzmann-Gibbs方程”正是“热力学时间箭头”所需要的。“热力学时间箭头”的来源就体现在推导“Boltzmann-Gibbs方程”的假设之中。

      “Boltzmann-Gibbs方程” 同“立方非线性Schrödinger方程”之间相似性的重大意义在于，首先是指出了Boltzmann方程中的不可逆性来自“仅考虑粒子之间的两两相互作用（碰撞）而忽略了多粒子之间的相互作用”；其次是提示了“Boltzmann-Gibbs方程”的精确解有可能类似于“立方非线性Schrödinger方程”的“孤子解”（计算表明确实如此）。

     有些人比较保守，正如沈惠川先生所说，他们也许不愿放弃“传统Boltzmann方程”；这也不要紧，可以将“Boltzmann-Gibbs方程”视为“传统Boltzmann方程”纯数学上的特殊情况。可以将“传统Boltzmann方程”看成带有“附加势”（“附加场”）的“Boltzmann-Gibbs方程”，而将“Boltzmann-Gibbs方程”的“孤立子解”看成其“零级近似”。

      当然，不反对仍旧用Chapman和Enskog的解法来求解“传统Boltzmann方程”；但显然“Chapman－Enskog的解法”将抹去“传统Boltzmann方程”中的所有“非线性效应”。

      总而言之，“Boltzmann-Gibbs方程”是非平衡态统计力学动理学理论的精华。

                       晓熵

                       2012.01.15

与网友“血染图腾”之间的电邮

沈惠川：

    我是沈惠川教授。

    有学生说网上有你的帖子，我看了一下你提出的问题。

    你的问题是对“Lagrange未定乘数法”没有真正理解透。你可以看一下我在《经典力学》一书中的有关段落（p120第10行和p121第28行），注意关键词“选择（Lagrange未定乘数）”。

    用“Lagrange未定乘数法”时，由于Lagrange乘数是未定的，所以一般是立不出方程而且解不出来的；只有在“选择（Lagrange未定乘数）”后，才能立出方程定解。经典力学中最后立出“Lagrange方程”。

    在统计力学中求微正则系综的数密度时，选择Lagrange未定乘数等于1（吴大猷先生选其为“常数”），得到一个关于系综数密度的方程，由此解出系综数密度等于常数（或由变分前的“系综数密度”乘以“系综数密度的对数”等于0的方程得到系综数密度等于0及等于常数）。

    正则系综和巨正则系综同样处理。只不过多了几个Lagrange未定乘数。

    吴大猷先生的方法与我是一样的，只不过吴先生有几个Lagrange未定乘数取了负值。

    建议你将“Lagrange未定乘数法”好好复习一下，搞透其中的精要。

“血染图腾”：

沈惠川教授：

    您好，感谢您在百忙之中抽出时间关注了我的提问。我乃是刚刚毕业于哈尔滨工业大学的学生，是实实在在的无名之辈，能收到您的邮件，让我倍感意外和惊喜。

    我是个及其喜爱物理学的人，常常只要一杯茶、一卷书、一支笔、一张纸就能安然度过百无聊赖的周末，但我却不是个脾气平和之人，很较真，记得上大学的时候为了一个问题就跟教授争执起来，所以在论坛上可能有言语上的冒犯，还请原谅。

    您所著的《经典力学》以及《统计力学》我都很喜欢，由其是一些特别的见解和简洁的讲解，我感到很有价值。譬如说您在《经典力学》中的关于变分法的讲解，醍醐灌顶，一看就能明白，诸如“变分与微商何时可互换顺序”之类的问题，书中的亮点不胜枚举，比起其它你抄我的我抄你的为评职称而出的书来说，价值要高上百倍了。我也很赞同您在《统计力学》中所说的“只有系综理论才称得上统计力学”，不从系综出发的统计力学/统计物理学很难有真见解。所以当网友们建议我换本书，不要在一本《统计力学》上死磕的时候，我拒绝了，这本《统计力学》无论从论点上还是讲述方法上都很对我的胃口，另外，在这本书上遇到的具体问题无法用“换一本书”的方式来解决，那是逃避。

    当然对于您在两本书中的一些批评，我至今仍是抱有保守的态度的。譬如说对“广义哈密顿原理”的批评等，我只是认为那只是在数学上放宽了要求的结果，就好比用碗可以盛饭，用锅也可以盛饭一样，虽然大了点，但并不认为是不可原谅的谬误。这问题并非主要想谈的，只是顺便提及，以下内容才是正传。

    您的来信我已阅读过，那本书也已经查过。当时我是通过δ∫(ρlnρ-λρ)dΩ=0计算得到的δ∫{(lnρ+1-λ)δρ+(-ρ)δλ}dΩ=0，当然λ是常数，δλ=0，所以只得到lnρ+1-λ=0，也就是ρ=exp[λ-1]，按照您的意思，要人为选取λ=1，再解方程，也就是说原则上可以选取λ为任意常数（似乎不宜选择为0），考虑到对lnρ的变分还有另一常数项C，如果是这样，得到λ=1以及ρ=const.便没有了困难。

    顺带提及两个问题：

    1.正则系综中的约束条件是∫ρdΩ=1以及<ε>=∫ρεdΩ/∫ρdΩ为一常量，我不明白的是，增加一个约束条件<ε>=∫ρεdΩ/∫ρdΩ为何竟使广义变分原理增加了两项？即：δ∫(ρlnρ-λρ+ηρ+βερ)dΩ=0，为何是这个形式，我没有能想明白，如果取其它形式，譬如只增加一项βερ会怎样，会不会使得我们无法得到ρ的正确的结论？如果是这样，那么就有弄清楚“将约束条件写入变分原理应有什么样的形式、为什么是这个形式”的必要了。

    2.您在书中直接给出最普遍的玻尔兹曼-普朗克熵公式，我认为这样写书是无比正确的，但是关于这个公式，作为一个假设，它是因为什么被定义成这个样子的（总应该有个逻辑上的线索），所以我想，应该应该还是有一个交待比较好。

沈惠川：

你的第一个问题：

    还是与“Lagrange未定乘数法”有关。在“Lagrange未定乘数法”中，约束条件应该写成f=0的形式；如果约束方程右边不是0，则应将右边的东西移到等号左边去。现在由于有（2.8）式，你将分母乘上能量，然后移到等号左边，不正好是两项吗？

你的第二个问题：

    熵的定义式实际上是由Plank公式S=klogW变过来的。它的导出，我认为Planck当初肯定验证过热力学定律。验证过以后，他才放心。从这一点可看出Planck不及Einstein。有了Planck公式后（内能和广义力可以计算出来，但熵必须要另外作假设），统计力学不需要热力学作为拐棍就能导出其他热力学量。

     你可以将我两次说物理内容的贴到网上去。

另复：

      你关于“广义哈密顿原理”的说法不符合逻辑。我不同意。
      Lagrange方程与Hamilton原理是等价的（在我的《经典力学》一书中有证明），而 Lagrange方程、Legendre变换和正则方程这三者之间只有两个是独立的，从任意两个可以导出第三个（在我编著的第二本题谱中有证明），不可能从一个导出其他两个。这就是逻辑。

      所谓“广义哈密顿原理”中已隐含Legendre变换（原变量乘以将要变换的变量，再减去原函数），所以实际上就等价于Lagrange方程。

“血染图腾”：
沈慧川教授：

    您好，按照您提供的办法，如果说<ε>=∫ρεdΩ/∫ρdΩ=E要写成∫(ρε-ρE)dΩ=0的形式，也就是变为f=0的形式，才能写入变分原理中，那么先前的归一化条件∫ρdΩ=1的右侧也不为零，也要将1写到左侧去吗？（我也查过彭桓武、徐锡申的《理论物理基础》，其中也有相似的做法，只是变分的方法十分诡异，上面竟有δ1这样的变分写法，至于为什么要那样写，我亦不是很清楚。）

    另外我还想了解一下，您对“广义哈密顿原理”的态度，是完全否定，还是有所保留地批评？前几个月有您的学生到我们管理的论坛上谈论了“广义哈密顿定理”，至少从中可以看出您对此原理的批评是很严厉的。

另附上：

    为了保险起见，我仍然想要向您确认一下，关于正则系综的数密度ρ的计算，是否是将约束条件∫(ρε-ρE)dΩ=0的-ρE项中的-E吸收到拉格朗日未定乘数η中去了？而且ε的变分似乎为0？（每个系统的哈密顿量也是常量？缘何？）

沈惠川：

    你信中按照我所说的做的变分才是正确的，包括对常数1的变分（当然它等于0）。

    昨天你不顾分母所做的变分就不正确。

    对“推广的Hamilton原理”的态度，我与吴大猷先生相同。我一看到吴先生的信，立即就明白了他的意思，而且马上知道别人错在何处。从未犹豫过。

    我名字中是“惠”，不是“慧”。

    的确是将约束条件∫(ρε-ρE)dΩ=0的-ρE项中的-E吸收到拉格朗日未定乘数η中去了，而且ε的变分为0。

     每个系统（无耗散的）的哈密顿量是常量，它对每个系统而言是守恒量。

“血染图腾”：

沈惠川教授：

    您好，抱歉因为输入法的问题将名字打错了，请您原谅。

    通过您细致的讲解，这部分内容的疑惑已经解除了，实在是非常感谢。

    至于“广义哈密顿原理”，我仔细读过您书中的相关内容，也阅读了吴大猷先生《古典动力学》的相关内容，确实存在一般情况下p与q有关而不能独立变分的情况，而面对“广义哈密顿原理”推导出正则方程的成功，您的具体意见是什么呢？对此我一直比较糊涂，是要“全盘否定广义哈密顿原理”，或是要说明“广义哈密顿原理乃是隐含了勒让德变换的结果”呢？

附：

    可能因为电脑系统的缘故，调好的字体和颜色在发出后就不正常了，发送的信件格式可能会变乱，望谅解。

沈惠川：

    我完全不同意所谓“修正Hamilton原理”的说法。

    上次已经说到，在它所谓的变分原理中，已经有了Legendre变换（原变量乘以将要变成的量，然后减去原有的函数）（当然这么做的人没有意识到，或故意不愿承认这就是Legendre变换），而根据Legendre变换，必然有正则方程中的一个方程（即dq/dt的那个方程）；既然有这个方程，为什么在最后一步时不代入这个方程以得到正则方程的另一个方程（即dp/dt的那个方程）（这就是吴大猷先生和我所做的），而非要说“可以从修正Hamilton原理得到两个正则方程”呢？而非要说“两个正则方程是对称的”呢？

    实际上两个正则方程，无论从来源和功能，无论从“广义经典力学”的角度来看（在广义经典力学中，dp/dt的那个方程很复杂），并非十全十美对称的！这也就是我对“辛对称”并不十分重视的原因。

“血染图腾”：
沈惠川教授：

    您好，您所说的关于“广义哈密顿原理”的看法，看来比我能想象得到的还要复杂的多，先前只知道吴大猷先生说p与q一般应不能独立变分，相互有制约，所以我曾想“广义哈密顿原理”乃是强令假设p与q可独立变分的，也就是放宽条件，不考虑p与q之间的制约。而您这次所说的看来比我从书中看到的想法更为深刻，是我以前没有考虑过的，我应当再花些时日考虑好这个问题。

    再次感谢您的关注与细心的解答。

沈惠川：

    看问题就应当看得深远一些。

     所谓“推广的Hamilton原理”实际上已经用了Legendre变换，却说“不用”就可以得到正则方程，岂非笑话？

     《经典力学》一书，第一、第二两章的“输入”（当时没有将word转换成方正的软件，所以公式要重新“输入”）是个新手，而编辑（《经典力学》）则是调入科大后所编辑的第一本书，所以这两章有不少印错（我计算了一下有几十处），尤其在第二章的习题中。当然，印错处绝大多数都不重要（一看就知道），只有两处比较重要（其中一处在第二次印刷中已改正）。我自己因已疲乏，所以没仔细校对出来。只好等以后第二版（肯定会出第二版，因为社会效益很好）再修正了。

    《统计力学》一书错误极少，现只发现一个错字，一处漏4、5字。

“血染图腾”：

沈惠川教授：

    您好，关于“在推广的哈密顿原理中已经用到勒让德变换”，我已知晓，但以此来说明这个原理不成立，似乎难以站住脚。我的想法是，从数学条件上放宽限制，在让q随意走的同时硬让p也随意走，这样仍然能得到正则方程，说明即使放宽了限制，在物理上也会自动地屏蔽掉那些由于p与q相关联而无法取到的路径。我力挺“推广的哈密顿原理”并不意味着我否认需要借助于勒让德变换，也不意味着我反对吴大猷先生指出的“p与q实际上是有关联的”，我只是认为您对“p与q实际上是有关联的”这句话的含义，似乎是想多了。可能您仍然不能同意我的观点，这不要紧，毕竟目前两种说法都有它的市场，孰对孰错，可以先搁置争议。

     至于您的两本书，我一直认为是很符合口味的，现在再读那本《经典力学》已不感到困难；而《统计力学》的前两章最最基本的东西，从讲法上也非常的美。只是由于我先前不懂得一点统计力学，所以作为一个统计力学的初学者，感到以此书学习尚有难度。甚至有些时候无法理解一些细节，包括符号的表达方法，譬如S=klnΓ(<ε>,V,N)结合D(ε,V,N)=∂Ω(ε,V,N)/∂ε，缘何就表达成S=kln[D(<ε>,V,N)δε]这样的形式，D的参量怎么从ε变成了<ε>？后又为何有一个δε？这个δε是否是变分运算？这样的问题不止一处……由于我水平有限，再加上对这些符号没有详尽的说明，所以我想了半天，却仍然不能完全确信这些符号表达是否就如我想的那样微妙。有时感到“猜不透”，所以这也是我在论坛上说您的书甚至比朗道的书还要深奥的缘故之一。

沈惠川：

1.<ε>就是E。

2.D(ε,V,N)就是Ω(ε,V,N)对ε的微商，所以取D(ε,V,N)作对数时其中必须乘以δε，否则就不等于原来的取Ω(ε,V,N)作对数了。δε是小量，不是变分。

3.我很不明白你和你的朋友们为何要维护错误的所谓“修正的”或“推广的Hamilton原理”！上次已经对你说过，在这个所谓的“推广的Hamilton原理”中，一开头就用了“原变量乘以将要变换的变量，然后减去原函数”，这实际上就是Legendre变换！（你可以记它为L，也可以记它为任意的K；通过这个L或K，就可以算出dq/dt）既然已经用了Legendre变换，为何到了最后一步不将这个dq/dt的式子代进去？却反而说“可以得到两个正则方程”？这是自欺欺人的笑话。

      实际上，许多有识之士（包括许多教授）都已认识到这一点。科大原来有个秦家桦教授，他原来写过一本经典力学，用的就是“推广的Hamilton原理”；后来他看到我在《物理》上写的有关吴大猷的言帘卷西风论，马上就对学生承认自己有错。

      不要以为老外写的就一定对。Goldstein不过是一个教授；吴大猷也是教授，而且是两位诺贝尔物理学奖得主的老师，就不如他吗？我也是教授！现在的年轻人看到外国人就怕，不知何故。

     另：系综理论统计力学中的符号比起例如汪志诚的书，还是简单的。

     看多了就熟悉了。

“血染图腾”：

沈惠川教授：

    您好，我和论坛上的朋友们不是在单纯地维护这个原理，事实上，我们至今也未能明白您到底为什么认为它是错的。如果说，您认为推广的哈密顿原理属于“多余”，那么我们还可以理解，但事实不是这样，按照您的意思，这个原理从逻辑上就讲不通。

    但是我们不这样认为，我仔细查阅了您的《经典力学》P277~P280，我们普遍认为：

1.通过勒让德变换可以直接得到正则方程；

2.广义哈密顿原理虽然一上来就用到了勒让德变换，但这个原理本身的着眼点不是勒让德变换，诚然可以用勒让德变换来得到正则方程，但是这个原理走的是另外一条路子，条条大路通罗马！所以唯一值得商榷的问题仅是p与q相关联是否影响到p与q能否独立变分。否则“用了勒让德变换就不行”，这是什么道理？

    吴大猷先生乃是杨振宁先生和黄昆先生的老师，这我是知道的，正因为这样，所以才对吴大猷先生讲的话非常的在意。我不认为我是因为怕老外，然后不假思索地接受戈德斯坦的提法，绝对不是这个样子。

    另外对于问题2，按照书上的写法，ln[∂Ω(ε,V,N)/∂ε·δε]等于lnΩ(<ε>,V,N)？虽然量纲是对的，但是我认为这在数学上有问题，既然δε是一个小量，则∂Ω(ε,V,N)/∂ε·δε应当是Ω(<ε>,V,N)的改变量。我第一次见到类似的数学形式还是在朗道的《力学》上，他推导动量守恒的时候先给出拉格朗日量的一个变化量：δL=Σ∂L/∂r·δr，在数学形式上与此相仿，所以我认为。ln[∂Ω(ε,V,N)/∂ε·δε]不能等于lnΩ(<ε>,V,N)，否则怎么讲得通？

    另：网友们以前给我推荐的林宗涵的或汪志诚的《热力学与统计物理》，实在是写得乱七八糟，而且一翻到系综理论，就发现他们都要以热力学做拐棍，而且竟然连王竹溪先生的书中也要以热力学做拐棍，熵S的计算公式竟是通过与热力学第一定律的方程对比而来的，这是我万万不能接受的！

沈惠川：

1.关于ln[∂Ω(ε,V,N)/∂ε·δε]是否等于lnΩ(<ε>,V,N)的问题：当然不是全等于，否则只须写一个就行了。但是用这两者写出来的熵S差别不大（你可以当作习题练习一下，实际上在我的《热物理习题精解（下）》中就有这道习题），因此这两种写法都可以。

Ω(<ε>,V,N)与那个“伽玛”只相差一个常数因子，代入熵公式后，差别也不大。

 2.关于“推广Hamilton原理”的问题，我已说过多次。主要是个逻辑问题。既然用了Legendre变换，最后变分得到的只可能有dp/dt那个方程（dq/dt那个方程已经由Legendre变换得到过了），因而根本谈不上什么“推广”（依旧是对q变分这一项），仍然还是原来的“Hamilton原理”。而“Hamilton原理”与Lagrange方程是等价的，这正符合“正则方程必须由Lagrange方程和Legendre变换得到”的逻辑。否则就成为“单从推广Hamilton原理就可得到正则方程”这样一种荒唐的逻辑。

    另外，在运动学中q与dq./dt并非独立的，但在动力学中q与p是相互独立的。运动学和动力学不要搞混淆了。吴大猷先生说的是运动学（从一点到另一点）。而且，尽管动力学中q与p是相互独立的变量，但它们之间是有联系的（拉格朗日量和哈密顿量）。

理想气体配分函数的统一形式

二评沈惠川先生的《统计力学》

    在下所撰写的“相对论为什么是正确的？空间为什么是3维的？”一文在网络上发表后，获得诸多网友的重视，百度和谷歌几乎在文章发表同时就做了收录。此文是第一篇评论沈惠川先生《统计力学》的文章。本文接着上次的文章，再作第二篇评论。本文的议题是：经典的和量子的理想气体配分函数的统一形式。

    统计力学的核心问题有两个：一是“系综”的概念，二是“配分函数”的计算。关于“系综”的概念，沈先生的《统计力学》作了很详尽、很到位的诠释（比大多数统计力学教科书诠释得都好），这里不谈。本文着重介绍理想气体的“配分函数”。

    “配分函数”是统计力学中热力学量的生成函数，其地位相当于量子力学中的“波函数”。“配分函数”的计算简言之就是求能量函数（Hamilton量）某种复合形式的“Laplace变换”。由于能量函数（Hamilton量）主要是其中的势能函数的形式变化无穷，因此一般来说“配分函数”的计算应当是十分复杂的。势能函数有两种：一种是“外场势能”，另一种是分子之间的“相互作用势能”。如果有分子之间的“相互作用势能”，则对应于“非理想气体”；如果没有分子之间的“相互作用势能”，则对应于“理想气体”。至于“外场势能”，一般仅与坐标有关，可以通过“化动量正则变换”或“化动能正则变换”将其“化为乌有”（这是沈先生书中的原话）。于是在理想气体中，总是可以由能量函数（Hamilton量）与广义动量之间的关系式计算配分函数。

    沈先生在《统计力学》一书中，求得了经典的和量子的理想气体配分函数的统一形式。这个“统一形式”看上去有点复杂，但是不难记：涉及能量函数（Hamilton量）与广义动量之间的“l次s维”关系，当然也与粒子数N，广义体积V，温度T这些热力学量有关。其具体形式，诸位看官可以查阅沈先生的书，本文中不想使用数学编辑器。有了经典的和量子的理想气体配分函数的统一形式后，可以方便地写出经典的和量子的理想气体热力学量的统一形式，从而理论上除了证明空间是3维的外，还证明了相对论是完全正确的！（这就是在下撰写的“相对论为什么是正确的？空间为什么是3维的？”一文所论证的。）

    理想气体配分函数的统一形式还有一个意想不到的功能，即可以利用它求得能量函数（Hamilton量）与广义动量之间有任意函数关系的理想气体的配分函数。具体做法是：可以先将能量函数（Hamilton量）与广义动量之间的任意函数关系展开成能量函数（Hamilton量）的Taylor级数形式，然后使用理想气体配分函数的统一形式写出各个“子配分函数”的级数分量，最后再求和（若不能求和也无妨）。于是乎，“所有的”理想气体的配分函数原则上都可以计算出来。

    在《统计力学》一书中，沈先生说：“必须强调的是，由于动量-能量关系 一般都可以Taylor级数的形式展开成动量 的幂级数，因而“一般气体”的动量-能量关系 及其配分函数具有更广泛的实用意义：它们实际上可被应用于几乎所有（有不同动量－能量关系）的物理现象.”

    沈先生在另一处还说过，也可以先将能量函数（Hamilton量）与广义动量之间的任意函数关系展开成能量函数（Hamilton量）的Fourier级数形式，最后再做“Laplace变换”同样可以计算配分函数。他的《统计力学》一书最后面的数学表格，就是为了派此用场。

    沈先生的这个“经典的和量子的理想气体配分函数的统一形式”是其他统计力学教科书所没有的，实在太好了，值得推荐！与沈先生的这个“经典的和量子的理想气体配分函数的统一形式”最靠近的是在Mayer夫妇的《统计力学》[《Statistical Mechanics》, 2nd ed., Wiley, New York,1946 ；中译本，《统计力学》，高等教育出版社，1957]一书附录III中有关“一个N维球的体积”的叙述；然而Mayer夫妇所叙述的“N维球的体积”是两个“分立”的形式，而不是一个“统一”的形式，同时也没有最后得到“经典的和量子的理想气体配分函数的统一形式”。

    这一点，正如沈先生在《统计力学》一书中所说：“顺便指出：J. E. Mayer和M. G. Mayer的《统计力学》一书附录III中的有关公式是统一的“推广的Dirichlet积分”（2.84）式的两种特殊情况. 然而J. E. Mayer和M. G. Mayer却错过了此统一的“推广的Dirichlet积分”（2.84）式！”

    剩下来的问题，就只有“非理想气体”了。

                         晓熵

                         2012-1-4

（一）

    出去旅游，每到风景胜地，游者如蒲公英的种子，飘撒开去，“落草”静坐于山林之间。偶尔会听人感叹：“发呆也是种幸福！”

    “发呆”是种境界，当你面对落霞与孤鹜，秋水共长天那样的景致，心旷神怡，不免独自坐在一边发呆。全身肌肉松似无骨，面呈清辉，无我，无时间，无欲望，无意志，无控制，无度量，无比较，无思想，无烦恼，全部心灵对自然畅开，天人合一，浑然自成，一种幸福愉悦的境界，悄然而降……

    相信很多人都曾经体验，只可惜一般时间都很短促，只是难得的瞬间。当你回过神来，又会被自己的思想所控制，被抓回到“现实世界”。这种灵魂短时间的“开小差”，就近于坐禅的境界，只是禅定更加收放自如，可以“发呆”更久，让心灵与宇宙相融相交，而不是偶尔得之。

    真正的美境，无法用语言形容，也难用思想去解释，“无以言表”“不可思议”，只有用心去感知。不同于西方人的解析，推理思维，东方文化有种直感，直觉，那是超越大脑活动的一种感觉。

    有如电脑与人脑的差别，电脑是人用数理逻辑设计出来的，在计算速度上，人脑无法与之匹敌；人脑是千万年来人类物竞天择，生存适应的结果，当风险来临时能在几秒钟内做出判断。人可以在几十米外仅凭背影认出一位朋友，电脑却“愚不可及”。现在深圳往香港过关处设有电子识别通道，验指纹加脸部扫描，免了排队久候之苦。可是经常对着摄像头始而“一本正经”，继而“嬉皮笑脸”，再而摘镜整发，它就是不认识你！离不开一位关员在那里巡回帮忙识别，只因电脑没有“直觉”。

    禅定，发呆，都是种直觉的交流，或称为“观照”，像景物直接映照在镜子里，与思想，意念没有关系。

    六祖慧能的师兄神秀作偈曰：

    “身是菩提树，心如明镜台，时时勤拂拭，勿使惹尘埃。”

    神秀的偈子虽然败给慧能，未能悟透，却是代表了大多数的凡夫俗子，有几人能“本来无一物”？坚持心如明镜，“时时勤拂拭”就是超凡脱俗之道。

    二十世纪著名印度哲学家克里希那穆提自小被视为灵童，弥勒再世，是位在西方极有影响的心灵大师。他说“我们从来无法完整地看待世界，因为我们是如此的四分五裂，如此的受限和琐碎。我们从来不觉得自己和万物是一体的，不觉得海洋，大地，自然，天空，宇宙是我们的一部分。这可不是一种想象----你可以把自己想象成整个宇宙，不过那势必令你精神错乱。所以我指的是突破自我中心的制约倾向，从其中就会出现一个无限的境界。这才是冥想的真谛……”

    “发呆”是种直觉，是人与天的感应，是控制着每个人心灵的“我”向自然的回归。

（二）

    曾经参加儿子高二学期结束前的家长会，学校教导主任做动员，要求家长配合完成高三的冲刺，通过高强度的临场训练，及时进入状态，十多年寒窗苦，务求功成于一役。教导主任讲到考试前的“临战状态”，应是两眼发直，“呆若木鸡”，才算进入境界。估计很多家长没读过庄子，听此论出，或一脸傻笑，或呆若木鸡。

    “呆若木鸡”典出《庄子--达生篇》，原意是褒义的。

    “纪渻子为王养斗鸡。十日而问：‘鸡已乎？’曰：‘未也，方虚憍而恃气。’十日又问，曰：‘未也，犹应向景（响影）。’十日又问，曰：‘未也，犹疾视而盛气。’十日又问，曰：‘几矣。鸡虽有鸣者，已无变矣，望之似木鸡矣，其德全矣，异鸡无敢应者，反走矣。’”

    说有驯养斗鸡的纪渻子为齐王驯鸡。过十天，王问：“鸡训成否？”纪渻子答： “未成，这鸡仍虚浮骄矜，恃气自大”。 再十天，王又问鸡，纪渻子答： “未成，这鸡闻声见影仍有所反应，受制于外物。”

    又复十天，王再问，纪渻子答：“未成，这鸡目光仍迅疾锐利，盛气凌人。” 又过十天，王问，回说：“差不多成了，当它听到其它斗鸡的叫声，已不为所动，毫无反应，处惊不变，神色自若，精气神内敛，看起来就像一只木鸡。别的斗鸡看见它，没有敢和它相斗者，反身避走为上矣。

    真正的“战斗鸡”是这样炼成的，心如止水，不浮不燥，无思无欲，与天地融通，无懈可击，金刚不败。即所谓“有容乃大”“无欲则刚”。

    这有容和无欲都离不开一个字：空。可惜在当今教育制度下，很难达成此种境界。学生从小到大，头脑里被灌满各种“知识”“技巧”和老师自己都不信的“教条”，一心向往考高分，进名校，挤过独木桥，满脑是胜出的渴望，失败的恐惧，前途的忧虑，重负之下，何来心灵的清朗自由，难免画虎成犬，成为真正的“木鸡”。

（三）

    “禅”是关于“空”的宗教，悟的是“空”。哗的一下清空了，便是“顿悟”。

    仰望星空，浩瀚环宇，繁星点点，幽光闪闪，绝大部分是空的。就说那星球，看似是“实”，“实”之质是原子，而原子内是原子核和电子，这核与电子如同太阳与地球，只占原子内极小的一点，几乎是空的。原子核内有质子，中子，恐怕也以空为主。层层相套，“有”乃空中之有，“有”本身即是空。所谓“色不异空，空不异色，色即是空，空即是色”。有科学家估算过，如果地球能收缩成一个“黑洞”，其体积只有一粒豌豆大小。想来这豌豆内部应当也是空的，要不何以为“洞”？

    由此看世界，最丰富的颜色是无色，无色包含了所有波长之“有色”，所有色即无色；最激愤的语言是无言，“此时无声胜有声”“于无声处听惊雷”；报纸舆佳节又重阳论最强的抗东篱把酒黄昏后议是“开天窗”；小说里最引人想入非非是“此处删去多少字”；中国戏剧舞台上无门，无墙，无窗，无车，无马，却可以随处有门，有墙，有窗，有车，有马。武则天留下一块无字碑，引千年遐想；陈寅恪留洋多年无学位文凭，成一代宗师；六祖惠能不立文字却尽得风流；修禅修到无我无你，无分别心，才有极乐大自在；老子倡导“无为而治”而秩序自成；世间人却依“理想”“主义”而治，争乱不止，想让世界更好些，结果是更糟，似乎是播种和平，却播种了仇恨，即所谓“颠倒”。

    佛学经典“金刚经”的核心，即“凡所有相，皆是虚妄”，放下一切概念形象，事物的本相便自然显现，而这“本相”也属虚幻。

    克里希那穆提认为人们总想着外在的自由，反叛社会与传统，专注外在的变化，而不问内在的自由，从心灵摆脱暴力，不再把暴力接受为生活方式，改变人类几千年不断的战争和杀戮。“清空你脑子里所有知道的东西，心灵变得彻底单纯，心灵才能具有纯净这项特别的宗教品质，才能让生命偶遇‘了悟’。”

    在其看来，人的头脑是物质的，人们从小不断往脑子里塞满了各种记忆，包括经验，知识，教义，而生成思想，思想只是头脑的物质活动，而物质的东西都是不完整的“碎片”。这种种积累形成“我识”，从而在头脑里产生恐惧，冲突，贪嗔痴，各类烦恼，心灵布满尘埃，变得迟钝，愚昧，执着。

    “思想无论怎么造作，都不可能是神圣的。它永远是一种物质的活动……思想本是知识的产物，而知识一向无法完整地描述任何事物，因此思想永远都是有限的，分化的。只要分化的活动存在，就一定会制造冲突。”

    这些被塞进脑子里的陈旧东西，窒息了自身智慧的灵光，使人都成了“二手人”，难有原创性的创新。

    比如你吃过一块巧克力，有了巧克力好吃的经验和记忆，就会生成再吃的欲望，看到别人吃而你没有，就会羡慕，妒嫉，你对巧克力有了“执着”，就会恐惧“失去”，或者焦虑得不到，就有想要改变现状的冲动，希望改变现有游戏规则，让自己稳享巧克力，高尚些的会希望世界有吃不完的巧克力。

    你会认为世界不公平，应当如何作出改变才行……人们成了自己欲望的奴隶，思想的奴隶，社会集体意识和共同欲望的奴隶，头脑就是冲突的中心。

    导演陈凯歌拍过一部电影“无极”，被人调侃为“一个馒头引发的血案”，这里推演的是一块巧克力引发的革莫道不消魂命。其实哪一次社会风暴，不是从人们头脑里小小的波涛开始的？

    几千年过去，世界并没变得多好，战争从未断绝，地球成了烂苹果。所以重要的是以人为本位，改变人的内心，只改变外部的制度，作用是有限的。这种内心改变不是要人臣服于集体，社会，宗教，而是个人的“了悟”，回归健康的，没有冲突的完整心灵。回到佛经的说法“心无挂碍，无挂碍故，无有恐怖，远离颠倒梦想。”

    当你玩电脑游戏时，身处某一角色，就有了一个“我”，为“我”紧张，激动，为胜出欣喜，为挫折沮丧，而当你点击“关闭”“退出”，从游戏中出来，就什么也没有了。人的内心冲突也如此，种种情绪使人焦虑不安，其实冲突双方全在你脑子里，操纵与被操纵都是同一个大脑，“关闭”它，放下它，就什么也没有了。只有“关闭”这一切，心灵才能畅开无阻，与宇宙融合，亮如明镜，进入“禅”的境界，“冥想”的境界。有人说“生气是用别人的错误来惩罚自己”其含意相通。作为“硬件”我们的头脑与我们的生命同龄，作为“软件”，那可是千万年进化的成果，是超越物质的，其潜能难以估量。

    有的禅师行为怪异，甚而呵佛骂祖，其实质是把佛祖，教义也都看空，断绝一切思辨，经典，以成自由自在的心灵世界。达此境界之人，心神合一，人境归一，大智若愚，“STAY FOOLISH”终成大器。

（四）

    空即宇宙，空即万有，空即无限，空即无上智慧。

    当前，物质主义盛行，从国家到个人都在功利化。物质化蒙蔽了人们的心智，GDP上去了，民族就崛起了；政府的钱袋鼓了，人民就幸福了；旧城都拆了，现代化就来了；为光大中华文化，全球要办多少“孔子学院”，为振兴社会道德，要培训多少万“孝心儿童”，把心灵世界的事情物质化，指标化，庸俗化。当年文艺创作追求“高大全”，如今城市建设也“高大全”，争盖世界第一高楼，甚而“四大皆空”的佛国世界也崇尚“高大全”，纷纷修造世界第一大佛。

    中国的某些寺庙本身就是“颠倒”的产物。那些名刹古寺，无不金碧辉煌，香烟燎绕，常因为呛得人喘不过气，而“儿童不宜”。庙里的主持们热衷于敛财，一柱“高香”收钱数百上千，把钱数当作虔诚的指标，而烧香的则争相给菩萨“行贿”，敬上几百元高香，求菩萨保平安，保健康，保升官，保发财，直指望是超级保险公司。这与佛的本意相差几远？

    相比之下，更欣赏日本的一些寺庙，清静整洁，除了京都“金阁寺”一片金光，亮丽得纯粹，一般都是棕黑色，透着木质的深沉。很少偶像，有也是小小的，更大的空间是那些禅堂，空旷无物，几坪草席，面临一泓清池，草色青青，树阴深深，落花无言，人淡如菊，当你席地而坐，一杯清茶，心中什么杂念都一扫而空，不由自主就进了禅的世界。

    有感于中日寺庙的差别，尤如“满汉全席”与“寿司”的差别，同是东方文化，全然两般模样。

    日本是个地质灾害频发，竞争激烈，生存压力很大的社会，卡拉OK由日本人发明是很自然的。去歌厅吼一吼，去酒吧买一醉，甚而对性的变半夜凉初透态追求，都是释放心理压力的手段。压力可以释放或转移，头脑里的冲突依然存在，不如去禅房静坐一会，根本上清一下头脑，日本的寺庙那么清幽脱俗，也是自然的。

    每天关闭电脑前，我都会扫描清理一下，把那些缓存文档和垃圾文件清除掉。以前不懂这些，垃圾越积越多，速度越来越慢，还差点把硬盘挤爆。其实人的大脑里也会每天塞进许多东西，很多是无用的垃圾，头脑自己也会折腾出许多乱七八糟来，生气，焦虑，恐惧，烦恼，“思想斗争”左手打右手，如同金庸笔下的“老顽童”周伯通，攻击的与反东篱把酒黄昏后攻击的是同一个主体，人们却很少想到该清除一下。偶尔发个“呆”，就满心幸福感，好像难得洗了个澡。

    一个无限大的平面是没有中心的，有中心就意味着有限。“只要心灵被任何点，任何经验或者任何知识束缚了，就无法走远。”

    要想头脑常保清醒，何妨经常发会儿“呆”，让心灵多飞一会？

（五）

    有禅师说过，“囿于过去之心，易生执着；囿于现在之心，易生贪嗔；囿于未来之心，易生虚妄。”

    所谓金融，即跨越时空的交易。过于沉湎于与“未来”的交易，“现在的贪婪”与“未来的虚妄”一相逢，就生出大虚妄，大泡沫。房价飞涨，资不抵债，金融危机，有的国家几近破产，经济危机，把世界都拖入萧条，深陷泥淖。

     人的时间感来自人的记忆，一个失去记忆的人，也就失去了过去，未来是过去的延伸，失去过去就失了未来。

     人有记忆，有经验，有思想，有教条，满脑都是“过去”的东西，过去的就是死去的。其实这世界所有的只是“当下”，而“当下”随时在沦为过去，而归于空无。人不应成“过去”的奴隶，被过去禁锢，也不应迷信于“未来”，寄托往往就是断送。

    我的小姑母86岁了，年轻时是位大美人，不逊于那时的电影明星。年初我去看望她，依然雍容富态，却沉默寡言。我故意问她岁数，答称84岁，表妹说她永远84岁，她的记忆到84岁为止了。小姑母显得无奈，反复说“人还在，魂已经走了。”面对她心里不免怅然，人的生命有时是一点一点褪去的，就像秋天褪色为冬天。记忆不同于仓库管理，“先进先出”，往往是后进先出的。

     孔子说“不知生，焉知死。”其实生与死同构为生命的整体，死也是生命的组成部分，生的那天死也开始了。每天晚上上帘卷西风床那刻，就告别了生命这一天的一切，“昨日种种好比昨日死”，没有告别的只是那个肉体，第二天是新生的开始，“今日种种好比今日生”。到那天肉体陈旧得没法再用了，就得告别肉体，彻底走了，也就告别了种种冲突的中心---- 那个“我”。

    与“我”告别的是什么呢？称之为“灵魂”吧。

    最近“乔布斯传”出版了，这是经乔布斯本人授权出版的唯一版本，尽管他本人未必来得及看过。作者访谈了乔布斯本人及其亲属，同事，朋友，对手，被伤害和伤害过的，为读者展现了一个天才，“混蛋”，偏执专断，又善于用人，不拘小节，又追求完美，多面丰富的乔布斯。没有像某些传记那样一味吹捧拔高。

    全书的结尾特别意味深长，令人掩卷长思：

    “尾声

    一个阳光灿烂的的下午，他感觉不太舒服，他坐在屋后的花园里，思考死亡。他谈到将近40年前他在印度的经历，他对佛法的研习，以及他对转世和精神超越的看法。‘我对上帝的信仰是一半一半。’他说，‘我一生中的大部分时间，都认为一定有超出我们所见的存在。’

    他承认，当他面临死亡时，他可能更愿意相信存在来世。‘我愿意认为，在一个人死后有些什么东西依然存在。’他说，‘如果你积累了所有这些经验，可能还有一点智慧，然后这些就这么消失了，会有些怪怪的。所以我真的愿意相信，会有些什么东西留存下来，也许你的意识会不朽。’

    他沉默了很长时间。‘但是另一方面，也许就像个开关一样。’他说，‘啪！然后你就没了。’

    他又停下来，淡然一笑。‘也许这就是为什么我从不喜欢给苹果产品加上开关吧。’”

    每当经过商场里苹果产品的展示台，看到那一台台各式各样，造型简洁，纯白一色，从前后左右哪一面看都精致无瑕的苹果机，似乎看见乔布斯的精灵在那里闪烁，就如电影“玩具总动员”里所展现的，每一个玩具都有自己的灵魂。

                           顾耀文  二O一一年十一月